ශ්‍රිතයක සීමාව


සීමාව ගණන් හදන්න පුළුවන් උනාට ගොඩක් වෙලාවට සීමාව ගැන හොඳ පැහැදිලි චිත්‍රයක් අපි අතරේ නැති වෙන්න පුළුවන්. ඇත්තටම මොකක්ද මේ ශ්‍රිතයක සීමාව කියන්නේ?
 
ගණිත ගැටලුවක දේවල් වෙනස් නොවෙන තාක්කල් සහ රේඛාවන් සරල රේඛා වෙලා තියනකන් ඒවා අධ්‍යනය කරන්න අපිට සාමාන්‍ය වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය භාවිතා කරන්න පුළුවන්, හැබැයි දේවල් වෙනස් වෙන්න ගත්තම සහ රේඛා වක්‍ර වෙන්න ගත්තම "කලනය" භාවිතා කරන්න වෙනවා කියල කියමනක් තියනවා. කලනය කියන විෂය කොටස ක්‍රියා කරවන මැජික් එක විදියට සීමාව හඳුන්වන්න පුළුවන්.
හිතන්න අපි ප්‍රස්තාරයක් අඳින්න යනවා වායුවක පීඩනය සමග උෂ්ණත්වය වෙනස් වෙන විදිය, මේ වැඩේ කරද්දී කෙනෙක්ට අවශ්‍ය වෙනවා දත්ත ලබාගන්න. ඉතින් කෙනෙක්ට උවමනා උනොත් වායු පීඩනය බින්දුවේදී උෂ්ණත්වයේ අගය මනින්න මේක කරන්න අමාරු වැඩක් නෙමෙයි කරන්න බැරි වැඩක් බව කාටත් තේරෙනවා. මෙන්න මේ වගේ වෙලාවට තමයි අපිට සීමාව කියන සංකල්පය වැදගත් වෙන්නේ, අපි බලනවා ශුන්ය පීඩනයට ඉතාම ආසන්න වෙද්දී උෂ්ණත්වයට මොකද වෙන්න කියල, උෂ්ණත්වයත් යම් කිසි අගයකට ආසන්න වෙනවනම් ඒ අනුව අපි ශුන්‍ය පීඩනයේදී උෂ්ණත්වය සඳහා යම් අගයක් හිතාගන්නව.
අන්තර්ජාලයෙන් හමු වුනු ආකර්ශනීය උදාහරණයක් ගත්තොත් අපි පාපන්දු තරඟයක් බලද්දී මෙන්න මෙහෙම දෙයක් වෙනවා.
දැන් 4.00 බෝලය තියන තැන අපිට දැක ගන්න බැරි උනා හැබැයි 3.59 සහ 4.01 යන අවස්ථා දෙකේදී බෝලය තියන තැන අනුව අපිට යම් අදහසක් ලබාගන්න පුළුවන් 4.00 දී බෝලය තියන තැන ගැන. තවත් ටිකක් ඕනනම් අපිට 3.59.9 දී බෝලය තියන තැනයි 4.00.1 දී තියන තැනයි බලන්න පුළුවන්, එහෙමත් නැත්නම් 3.59.999 දියි 4.00.001 දී තියන තැනයි බලල නිගමනයකට එන්න පුළුවන්. ඉතින් මෙන්න මේ වගේ අපි 4.00ට කැමති තරම් ආසන්න වෙලා (4.00 දී බලන්නේ නෑ හැබැයි) බලනවා බෝලයේ පිහිටීම. ඒ අනුව ගොඩක් හොඳ නිගමනයකට එන්න පුළුවන් වෙනව.
 
දැන් හිතන්න f(x) කියන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකය උප කුලකයක සිට තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකයට අර්ථ දක්වපු ශ්‍රිතයක් කියල. දැන් අපිට අවශ්‍ය වෙනව මේ ශ්‍රිතයේ x යම් ලක්ෂයකට අපි a කියල හිතමු, aට ආසන්න වෙද්දී f(x)ට මොකද වෙන්නේ කියල හොයන්න.
උදාහරණයක් විදියට අපි f(x)=x²-4 කියල ගමු. දැන් අපිට ඕන x=2 දී f(x) ගේ අගය බලන්න. දැන් අපි බලමු x අගය 2ට ආසන්න වෙද්දී f(x)ට මොකද වෙන්නෙ කියල.
අපිට දකින්න පුළුවන් සංඛ්‍යා රේඛාවක් දිගේ x ගේ අගය වම් පැත්තෙන් හරි දකුණු පැත්තෙන් හරි 2ට ආසන්න වෙද්දී f(x) ක්‍රමයෙන් 0 ට ආසන්න වෙන බව.
මෙන්න මේ වගේ x ගේ අගය a කියල අගයකට ආසන්න වෙද්දී f(x) යම් L කියල අගයකට ආසන්න වෙනවනම් අපි කියනව "L යනු x හි අගය a වෙත ආසන්න වෙන විට f(x) හි සීමාව වේ" කියල.
 
 
අර කලින් පාපන්දු උදාහරණයම බැලුවොත්, අපි අනුමාන කරනවා 4.00 දී බෝලය තියෙන්නේ A කියන ස්ථානයේ කියල. ඒ අනුමානය ගත්තේ 3.59සහ 4.01 දී බෝලය තිබුන තැන බලල. දැන් රූප සටහනේ විදියට අපි හිතමු Aගේ ඉඳල k දුර බැගින් දෙපැත්තට නිල් කොටුව ඇතුලේ බෝලය තියෙන වෙලාවල් වලදී බෝලයේ ඒ ඒ ඉහිටීම් වලට අදාළ කාල ටික ලකුණු කලොත් ඒවා තියෙන්නේ රෝස කොටුවේ ඒ කියන්නේ 4.00 ඉඳල m දුර බැගින් දෙපසට තියන කොටුවේ කියල.
දැන් අපිට මේ k කියන අගය මොන තරම් විශාල හෝ කුඩා හෝ ධන අගයක් උනත් මේ අවශ්යාතා ඔක්කම තෘප්ත කරන m කියල ධන අගයක් හොයාගන්න පුලුවන්නම්, අපිට කියන්න පුළුවන් සීමාව කියන සංකල්පය භාවිතා කරලා වෙලාව 4.00ට ආසන්න වෙද්දී බෝලය A පිහිටීමට ආසන්න වෙනවා කියල.
 
 
මේකම ගණිතමය විදියට අපි කලින් කතා කරපු ශ්‍රිතයට අදාළ වෙන විදියට කිව්වොත් "ε යනු ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් විට පහත අවශ්‍යතාව සපුරාලන පරිදි δ නම් ධන සංඛ්‍යාවක් ඇත්නම් ම පමණක්, a වෙත x එළඹෙන විට f(x) හි සීමාව L යයි කියනු ලබයි.
අවශ්යතාව: සියලු x∈(a-δ,a+δ) සහ x≠a සඳහා f(x)∈(L-ε,L+ε) විය යුතුය.
ඉහත අර්ථ දැක්වීම තමයි සීමාව පිළිඹඳ ඉතා හොඳ නිවැරදිම අර්ථ දැක්වීම වෙන්නේ.
 
සීමාව ගැන මේ වගේ සීමාවක් නැතුවම කතා කරන්න පුළුවන්. අපි තවම වමත් සීමා, දකුණත් සීමා ඒ වගේම ශ්‍රිතයක සීමාවක් පැවතීම නොපැවතීම වගේ දේවල් ගැන කතා කරේ නැහැ. ඒ දේවල් ගැන වෙනත් සටහනකින් කතා කරමු.
 
මූලාශ්‍ර: කලනය (අධ්‍යාපන ප්‍රකාශන දෙපාර්තමේන්තුව)
Calculus Workbook For Dummies (Mark Ryan)



ලිව්වේ : Prabath
අදාල විෂය : සංයුක්ත ගණිතය
ලියු දිනය : Sun 11 Nov 2018
මෙම ලිපිය කියවා ඇති ගණන : 126

Prabath Hewasundara

උසස්පෙළ සංයුක්ත ගණිතය

අනෙකුත් ලිපි
ඉංජිනේරු තාක්ෂණවේදය හැදින්වීම (කෙටි සටහන්)
(medhanga විසින් 2018-12-09 දින උසස්පෙළ යටතේ ඉංජිනේරු තාක්ෂණවේදය විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

හැදින්වීම ඈත අතීතයේ සිටම මිනිසා සෑම විටම අලුත් දේ නිෂ්පාදනය කිරීමට උත්සහ කරන අතර නිර්මාණය කර ඇති දෑ නවීකරණය කරනු ලබයි.මෙහිදී සෑම විටම මිනිසාගේ හෝ සමාජයට ...

2 නෙක් කැමතියි

4 පාඩම, මව්පිය දූ දරු යුතුකම් (ඉගැන්වීම් උපකාරක කෙටි සටහන්)
(යසිරු විසින් 2018-12-07 දින 9-වසර යටතේ දහම් පාසල (බෞද්ධ) විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

දෙමාපියන්, මුල්ම ආචාර්යවරුන් යන අර්ථයෙන් පුබ්බාචරිය යන නමින්ද, සතර බ්රහ්ම විහරණයෙන් යුක්තවූ බැවින් බ්රහ්ම යන නමින් ද හැඳින්වේ. සටහන:- සතර බ්රහ්ම විහරණ පිළිබඳ වැඩිදුර විස්තරයක් ...


ඉදිකිරීම් කටයුතු වලදී භාවිතා වන ගඩොල් බැමි
(medhanga විසින් 2018-12-04 දින උසස්පෙළ යටතේ ඉංජිනේරු තාක්ෂණවේදය විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

ගඩොල් (Brick) ශ්රී ලංකාවේ ඉදිකිරීම් ක්ෂේත්රයේදී බහුලව භාවිතා කෙරෙන ගොඩනැගිලි ද්රව්ය අතුරෙන් ප්රධාන තැනක් ගනී.ගංගා,වැව්,ඔයවල් ආශ්රිත පහත බිම්වල ගඩොල් තැනීම සදහා සුදුසු මැටි පවතී.මේවාට අවශ්ය ...


විජය සිට මහසෙන් රජ සමය දක්වා ඉතිහාසය හැදෑරීමේදී මූලාශ්‍ර වල වටිනාකම
(Samishka විසින් 2018-11-24 දින 12-වසර යටතේ ඉතිහාසය විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

ලංකා ඉතිහාසය හැදෑරීමේදී මූලාශ්ර වල වටිනාකම ලංකා ඉතිහාසය හැදෑරීමේදී දේශීය හා විදේශීය සාහිත්ය මූලාශ්ර ද පුරා විද්යාත්මක මූලාශ්ර ද ...


සංවර්ධනය වෙමින් පවතින රටවල් මහුණ දෙන ගැටළු (The Problems Facing Third World Countries)
(Rev: Handaganawe chandrajothi විසින් 2018-11-23 දින උසස්පෙළ යටතේ ඉතිහාසය විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

ප්රංශ නිරීක්ෂකයකු වූ ඇල්බට් ගෝව් විසින් 1952 අගෝස්තු 14 ලියන ලද ලිපියක "තුන්වන ලෝකය" (Third world) යන වචනය සඳහන් වේ. එය ප්රංශ විප්ලව සමයේදී එමානුවෙල් ...

1 නෙක් කැමතියි

3 පාඩම, අංගුලිමාල මහරහතන් වහන්සේ (ඉගැන්වීම් උපකාරක කෙටි සටහන්)
(යසිරු විසින් 2018-11-20 දින 9-වසර යටතේ දහම් පාසල (බෞද්ධ) විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

වැරදි නිවැරදි කරගත් අයට යහපත් පුද්ගලයෙකු විය හැකි බව සනාථ කරන බුදු දහමේ එන උදාහරණයකි අංගුලිමාල මහරහතන් වහන්සේගේ චරිත කතාව. කුඩා කල අහිංසක නම් වූ ...


චෝල නාවික කටයුතු
(Rev: Handaganawe chandrajothi විසින් 2018-11-20 දින උසස්පෙළ යටතේ ඉතිහාසය විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

ඉන්දියාව මුල් කරගනිමින් සමුද්රාන්තර අධිරාජ්යක් ගොඩ නැංවූ රාජ වංශයක් ලෙස චෝල රාජවංශය හැඳින්විය හැකිය. ක්රි.ව 1013 සියවස් අතර කාලය තුළදී චෝළ අධිරාජ්යය ව්යාප්තව පැවතුණි. නමුත් ...

1 නෙක් කැමතියි

බදු
(තරුෂි විසින් 2018-11-19 දින 10-වසර යටතේ ගණිතය විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

...


ඉල්ලුම් නම්‍යතාවය හදුනා ගනිමු
(ECON with විසින් 2018-11-18 දින 12-වසර යටතේ ආර්ථික විද්‍යාව විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

නම්යතාවය ප්රධාන වශයෙන් කොටස් දෙකකි.එනම්, 1.ඉල්ලුම් නම්යතාවය - ඉල්ලුමට බලපාන සාධකයන්ගේ වෙනසට ඉල්ලුම් ප්රමාණය දක්වන සංවේදීතාවය වේ.එනම් ඉල්ලුමට බලපාන සාධකයන් වන:සලකා බලන භාණ්ඩයේ මිල,අනෙකුත් භාණ්ඩ වල ...


සංස්කෘත නාට්‍ය කලාවේ ප්‍රභවය
(Tharindu විසින් 2018-11-14 දින සාමාන්‍යපෙළ යටතේ නාට්‍ය හා රංග කලාව විෂයට අදාලව ලියන ලදි)

සෘග් වේදයෙහි එන සංවාදාත්මක ස්තෝත්ර ඔස්සේ සංස්කෘත නාට්ය කලාවෙහි ප්රභවය සිදු වී ඇතැයි ඇතැම් වියත්හු අනුමාන කරති. "විද්" ධාතුවෙන් නිපන් වේද යන්නෙහි වාච්යාර්ථය දැනුම හෙවත් ...