ශ්‍රිතයක සීමාව


සීමාව ගණන් හදන්න පුළුවන් උනාට ගොඩක් වෙලාවට සීමාව ගැන හොඳ පැහැදිලි චිත්‍රයක් අපි අතරේ නැති වෙන්න පුළුවන්. ඇත්තටම මොකක්ද මේ ශ්‍රිතයක සීමාව කියන්නේ?
 
ගණිත ගැටලුවක දේවල් වෙනස් නොවෙන තාක්කල් සහ රේඛාවන් සරල රේඛා වෙලා තියනකන් ඒවා අධ්‍යනය කරන්න අපිට සාමාන්‍ය වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය භාවිතා කරන්න පුළුවන්, හැබැයි දේවල් වෙනස් වෙන්න ගත්තම සහ රේඛා වක්‍ර වෙන්න ගත්තම "කලනය" භාවිතා කරන්න වෙනවා කියල කියමනක් තියනවා. කලනය කියන විෂය කොටස ක්‍රියා කරවන මැජික් එක විදියට සීමාව හඳුන්වන්න පුළුවන්.
හිතන්න අපි ප්‍රස්තාරයක් අඳින්න යනවා වායුවක පීඩනය සමග උෂ්ණත්වය වෙනස් වෙන විදිය, මේ වැඩේ කරද්දී කෙනෙක්ට අවශ්‍ය වෙනවා දත්ත ලබාගන්න. ඉතින් කෙනෙක්ට උවමනා උනොත් වායු පීඩනය බින්දුවේදී උෂ්ණත්වයේ අගය මනින්න මේක කරන්න අමාරු වැඩක් නෙමෙයි කරන්න බැරි වැඩක් බව කාටත් තේරෙනවා. මෙන්න මේ වගේ වෙලාවට තමයි අපිට සීමාව කියන සංකල්පය වැදගත් වෙන්නේ, අපි බලනවා ශුන්ය පීඩනයට ඉතාම ආසන්න වෙද්දී උෂ්ණත්වයට මොකද වෙන්න කියල, උෂ්ණත්වයත් යම් කිසි අගයකට ආසන්න වෙනවනම් ඒ අනුව අපි ශුන්‍ය පීඩනයේදී උෂ්ණත්වය සඳහා යම් අගයක් හිතාගන්නව.
අන්තර්ජාලයෙන් හමු වුනු ආකර්ශනීය උදාහරණයක් ගත්තොත් අපි පාපන්දු තරඟයක් බලද්දී මෙන්න මෙහෙම දෙයක් වෙනවා.
දැන් 4.00 බෝලය තියන තැන අපිට දැක ගන්න බැරි උනා හැබැයි 3.59 සහ 4.01 යන අවස්ථා දෙකේදී බෝලය තියන තැන අනුව අපිට යම් අදහසක් ලබාගන්න පුළුවන් 4.00 දී බෝලය තියන තැන ගැන. තවත් ටිකක් ඕනනම් අපිට 3.59.9 දී බෝලය තියන තැනයි 4.00.1 දී තියන තැනයි බලන්න පුළුවන්, එහෙමත් නැත්නම් 3.59.999 දියි 4.00.001 දී තියන තැනයි බලල නිගමනයකට එන්න පුළුවන්. ඉතින් මෙන්න මේ වගේ අපි 4.00ට කැමති තරම් ආසන්න වෙලා (4.00 දී බලන්නේ නෑ හැබැයි) බලනවා බෝලයේ පිහිටීම. ඒ අනුව ගොඩක් හොඳ නිගමනයකට එන්න පුළුවන් වෙනව.
 
දැන් හිතන්න f(x) කියන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකය උප කුලකයක සිට තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකයට අර්ථ දක්වපු ශ්‍රිතයක් කියල. දැන් අපිට අවශ්‍ය වෙනව මේ ශ්‍රිතයේ x යම් ලක්ෂයකට අපි a කියල හිතමු, aට ආසන්න වෙද්දී f(x)ට මොකද වෙන්නේ කියල හොයන්න.
උදාහරණයක් විදියට අපි f(x)=x²-4 කියල ගමු. දැන් අපිට ඕන x=2 දී f(x) ගේ අගය බලන්න. දැන් අපි බලමු x අගය 2ට ආසන්න වෙද්දී f(x)ට මොකද වෙන්නෙ කියල.
අපිට දකින්න පුළුවන් සංඛ්‍යා රේඛාවක් දිගේ x ගේ අගය වම් පැත්තෙන් හරි දකුණු පැත්තෙන් හරි 2ට ආසන්න වෙද්දී f(x) ක්‍රමයෙන් 0 ට ආසන්න වෙන බව.
මෙන්න මේ වගේ x ගේ අගය a කියල අගයකට ආසන්න වෙද්දී f(x) යම් L කියල අගයකට ආසන්න වෙනවනම් අපි කියනව "L යනු x හි අගය a වෙත ආසන්න වෙන විට f(x) හි සීමාව වේ" කියල.
 
 
අර කලින් පාපන්දු උදාහරණයම බැලුවොත්, අපි අනුමාන කරනවා 4.00 දී බෝලය තියෙන්නේ A කියන ස්ථානයේ කියල. ඒ අනුමානය ගත්තේ 3.59සහ 4.01 දී බෝලය තිබුන තැන බලල. දැන් රූප සටහනේ විදියට අපි හිතමු Aගේ ඉඳල k දුර බැගින් දෙපැත්තට නිල් කොටුව ඇතුලේ බෝලය තියෙන වෙලාවල් වලදී බෝලයේ ඒ ඒ ඉහිටීම් වලට අදාළ කාල ටික ලකුණු කලොත් ඒවා තියෙන්නේ රෝස කොටුවේ ඒ කියන්නේ 4.00 ඉඳල m දුර බැගින් දෙපසට තියන කොටුවේ කියල.
දැන් අපිට මේ k කියන අගය මොන තරම් විශාල හෝ කුඩා හෝ ධන අගයක් උනත් මේ අවශ්යාතා ඔක්කම තෘප්ත කරන m කියල ධන අගයක් හොයාගන්න පුලුවන්නම්, අපිට කියන්න පුළුවන් සීමාව කියන සංකල්පය භාවිතා කරලා වෙලාව 4.00ට ආසන්න වෙද්දී බෝලය A පිහිටීමට ආසන්න වෙනවා කියල.
 
 
මේකම ගණිතමය විදියට අපි කලින් කතා කරපු ශ්‍රිතයට අදාළ වෙන විදියට කිව්වොත් "ε යනු ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් විට පහත අවශ්‍යතාව සපුරාලන පරිදි δ නම් ධන සංඛ්‍යාවක් ඇත්නම් ම පමණක්, a වෙත x එළඹෙන විට f(x) හි සීමාව L යයි කියනු ලබයි.
අවශ්යතාව: සියලු x∈(a-δ,a+δ) සහ x≠a සඳහා f(x)∈(L-ε,L+ε) විය යුතුය.
ඉහත අර්ථ දැක්වීම තමයි සීමාව පිළිඹඳ ඉතා හොඳ නිවැරදිම අර්ථ දැක්වීම වෙන්නේ.
 
සීමාව ගැන මේ වගේ සීමාවක් නැතුවම කතා කරන්න පුළුවන්. අපි තවම වමත් සීමා, දකුණත් සීමා ඒ වගේම ශ්‍රිතයක සීමාවක් පැවතීම නොපැවතීම වගේ දේවල් ගැන කතා කරේ නැහැ. ඒ දේවල් ගැන වෙනත් සටහනකින් කතා කරමු.
 
මූලාශ්‍ර: කලනය (අධ්‍යාපන ප්‍රකාශන දෙපාර්තමේන්තුව)
Calculus Workbook For Dummies (Mark Ryan)




උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
  ප්‍රශ්න අංක 1 සමබර දාදු කැටයක් වරක් උඩ දැමූ විට ඉරට්ටේ අගයක් ලැබීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න. S               =             {1,2,3,4,5,6} n(A)    &nb...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සීමාව ගණන් හදන්න පුළුවන් උනාට ගොඩක් වෙලාවට සීමාව ගැන හොඳ පැහැදිලි චිත්‍රයක් අපි අතරේ නැති වෙන්න පුළුවන්. ඇත්තටම මොකක්ද මේ ශ්‍රිතයක සීමාව කියන්නේ?   ගණිත ගැටලුවක දේවල් වෙනස් නොවෙන තාක්කල් සහ රේඛාවන් සරල රේඛා වෙලා තියනකන් ඒවා අධ්‍යනය කරන්න අපිට සාමාන්&z...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
  සම්භාවිතාවයේ ගණිතමය අර්ථ දැක්වීම ( ප්‍රත්‍යක්ෂ අර්ථ දැක්වීම ) යම් සසම්හාවී පරීක්ෂණයක් සමග සංඝටිත නියැදි අවකාශයකට අනුරුප වන සිද්ධි ප්‍රමාණය ƺ ද , ƺ තුල එක සිද්ධියක් වන A සිදුවීමට , p(A)≥, AԐƺ ද, p(Ω)=1 A හා B යනු ƺ තුල අන්‍යෝන්‍ය වශයෙ...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
නියැදි ලක්ෂ්‍යය නියැදි අවකාශයට අයත් වන එක් එක් අවයවය නියැදි ලක්ෂයක් ලෙස වේ. උදා- කාසියක් උද දැමු විට Ω={H,T} විට H-නියැදි ලක්ෂ්‍යයක්ද, T-තවත් නියැදි ලක්ෂ්‍යයක්ද වේ.   නියැදි අවකාශයක් දක්වන ක්‍රම 1.කුලක ආකාරයෙන් 2.ලක්ෂ්‍ය ප්‍රස්ථා...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සම්භාවිතාව   කුලක මනා ලෙස අර්ථ දක්වන ලෙස කාණ්ඩයක් කුලකයක් ලෙස හැදින්විය හැකිය. උදා-  උස ළමුන්-කුලකයක් නොවේ. අඩි 4ට වඩා උස ළමුන්-කුලකයකි. කුලකයක අවයව පුනරාවර්තනය නොවේ. කුලකයක අවයව වල අනුපිලිවෙල වැදගත් නැත කුලක වල වැයව ලියා දැක්වීමේදී සගල වරයන් - {} ත...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සමුහිත දත්ත සදහා කේන්ද්‍රික ප්‍රවණතා මිනුම්   මධ්‍යන්‍ය මෙහිදී නිරීක්ෂණ දෙනු ලබන්නේ පන්ති ප්‍රාන්තර ලෙසිනි. ප්‍රාන්තර තුල දත්ත ඒකාකාරව පිහිටා ඇතයිද, ප්‍රන්තරයේ මධ්‍ය අගය ප්‍රාන්තරය තුල ඕනෑම අගයක නිරීක්ෂණය ලෙසද, ප්‍රධා...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
භරිත මධ්‍යන්‍ය   එක එක දත්ත වලට විවිධ වටිනාකම් පවතී නම් එවිට මධ්‍යන්‍ය සෙවීම වඩා යෝග්‍යය. x1 ,x2 ,x3,…xn යන දත්ත වලට w1 ,w2 ,w3,…wn යන භාර තබා ඇත්නම් එවිට භරිත මධ්‍යන්‍ය (x̅ ) නම්, (x̅ )= (x1w1+x2w2+…+xnwn)/( w1...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්ති ප්‍රස්ථාරගත කිරීම.   ජාල රේඛය. තිරස් අක්ෂය -x ට සංතතික ප්‍රන්තරද, සිරස් අක්ෂය ය ට සංඛ්‍යාතයද ( සංඛ්‍යාත ගණත්වය ) ගෙන අදිනු ලබන ස්ථම්භ ප්‍රස්තාරය ජාල රේඛය නම වේ. සංඛ්‍යාතය අදාළ සෘජුකොනාස්‍ර ස්ථම්භයේ වර්ගඵල...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සංඛ්‍යානය 1   සංඛ්‍යාත්මක දත්ත රස කර අනාගත සැලසුම් සදහා විශේෂ නිගමන වලට එළඹීමට සංඛ්‍යාන විද්‍යාව යොදාගනු ලැබේ. පහත කරුණු මේ සදහා ඇසුරු කරගනු ලැබේ. දත්ත එක්රැස් කිරීම. නිශ්චිත පිළිවෙලකට සැකසීම නිරුපණය කිරීම විශ්ලේෂණය කිරීම. නිගමන ගැනීම ...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
වර්ගජ සමීකරණ   a, b, c තාත්වික නියතද, a නිශ්ශුන්‍ය වනවිටද, ax2+bx+c=0 ආකාරයේ සමීකරණයක් වර්ගජ සමීකරණයක් වේ. මෙම වර්ගජ සමීකරණය තෘප්ත කරන x හි අගයන් එම සමිකරණයේ මුල වේ. උදා- 1.x2-x-6=0 හි මූල සොයමු. (x-2)(x+2)=0 x-3=0,x+2=0 x=3,x=-2 එනම් ඉහත සමීකරණයට තා...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සංකරණ හා සංයෝජන 2 ලිපියේ අවසන් කොටස හා අනුබද්දිතයි.  1.ක්‍රිකට් සංචිතයක ක්රීදකයං 15ක් ඇත.ඔවුන්ගෙන් 7ක් පිතිකරුවන්ද, 6ක් පන්දු යවන්නන්ද, 2ක් කඩුලු රකින්නන්ද වේ. 11කින් යුත් කණ්ඩායමකට යටත් පිරිසෙන් පිතිකරුවන් 5ක්,පන්දු යවන්නන් 4ක් හා කඩුලු රකින්නන් එකක්වත් ඇතුලත...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
සංයෝජන(තේරීම්) යම් ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණයකින් සියල්ලම හෝ ඉන් කිහිපයක් ගෙන සදනු ලබන සමුහ වලට සංයෝජන යැයි කියනු ලැබේ. සැ.යු - මෙම සමුහ වලට පටිපාටිය බලනොපායි.   උදා:-a,b, හා c අතුරින් දෙක බැගින් කල හැකි සංයෝජන ආකාර සලකමු       ...
උසස්පෙළ - සංයුක්ත_ගණිතය
ගණන් කිරීමේ මුලධර්මය   යම් සිදුවීමක් සිදුකල හැකි අකර ගණන nද,එම ආකාර එක එකක් සදහා තවත් සිදුවීමක් සිදුකල හැකි අකර mද නම් එම සිදුවීම් දෙකම කළහැකි ආකාර ගණන nxm වේ. උදා:- 1.A සිට Bට මාර්ග දෙකක් ඇත. B සිට Cට යාමට මාර්ග තුනක් ඇත.A සිට Cට මුළු මාර්ග ගණන 6කි.   2.ශාලා...
Prabath Hewasundara

උසස්පෙළ සංයුක්ත ගණිතය

අනෙකුත් ලිපි
4-වසර - සිංහල
ශිෂ්යත්ව විභාගය සදහා පෙර පුහුණු බුහුවරණ ප්රශ්න පත්ර 04 ප්රශ්නයකපිළිතුරකට ලකුණු2.5ක් ලබා දෙන්න (1 )කුණු කසළ කා දමන සත්වයකු වන්නේ? (1) කපුටා ය (2) බළලා ය (3) ...

13-වසර - SFT
තීන්ත නිශ්පාදනය තීන්ත කියන්නේ ලෝකේ නිතරම පාහේ පාවිච්චි වෙන රසායනික ද්රව්යක්. අපි මොන ඉදිකිරීම, මොන උපකරණය නිර්මානය කලත් අන්තිමට අපි තීන්ත ආලේප කරනවා. වෙලදපොලේ එක එක නම් වලින් ...

උසස්පෙළ - ඉංජිනේරු තාක්ෂණවේදය
ඉදිකිරීම් තාක්ෂණවේදය - කොන්ක්රීට් භාවිතය [ CONCRETE ] ( පලමු කොටස ) යකඩ, දැව, ගඩොල් යන ද්රව්ය යම් ආකාරයකට වැදගත් වනවා සේමකොන්ක්රීට්ද ඉදිකිරීම්තාක්ශනයේදී වැදගත් වෙයි. ගොඩනැගිලි ද්රව්යයක් ...

උසස්පෙළ - සිංහල
ප්රත්යාර්ථ නාම(තද්ධිත නාම) ප්රත්යාර්ථ නාම යනු ප්රත්යාර්ථ වලින් අර්ථ ගැන්වෙන නාම වේ. නාම ප්රකෘතියට සහ ක්රියා ප්රකෘතියට පසුව යෙදී අර්ථ ගන්වන කළ එය ප්රත්යාර්ථ නාම වේ. ...

12-වසර - SFT
මිනුම් උපකරණ විද්යාගාරයේදී මිනුම් ලබා ගැනීම සඳහා විවිධ ආකාරයේ මිනුම් උපකරණ භාවිත කරනු ලැබේ. මෙම සෑම උපකරණයක් සඳහාම පරිමාණයක් (scale) අන්තර්ගත වේ. සමහර පරිමාණ සහිත මිනුම් ...

4-වසර - සිංහල
ශිෂ්යත්ව විභාගය සදහා පෙර පුහුණු බුහුවරණ ප්රශ්න පත්ර 04 ප්රශ්නයකපිළිතුරකට ලකුණු2.5ක් ලබා දෙන්න (1 )නිතරම තමුන්ගේ ශරීරය පිරිසිදු කර ගන්නා සතෙකු වන්නේ? (1) ලේනා ය (2) බළලා ...

12-වසර - ව්‍යාපාර අධ්‍යයනය
ව්යාපාර පදනම කෙටි ප්රශ්න - දෙවන කොටස 01 . ස්වයංපෝෂිත යුගය පිළිබඳ කෙටි පැහැදිලි කිරිමක් කරන්න. අතීතයේ ජිවත් වු මිනිස්සුන්ගේ අවශ්යතාවන් එතරම් සංකිර්ණ වුයේ නැත. මිනිසාට අවධානය යොමු ...

උසස්පෙළ - තොරතුරු හා සන්නිවේදන තාක්ෂණය
වෙබ් අඩවි නිර්මාණය HTML අප වේබ් අඩවි නිර්මාණයේ දී භාෂාවන් කිහිපයක් බහුලව භාවිතා කරනු ලබයි.ඒවා නම්, HTML CSS PHP HTML- (Hypertext Markup Language) HTML භාවිතයෙන් නිර්මාණකරන විට අපට Tagභාවිතා කිරිමට සිදුවේ.එවිට සෑමtag ...

උසස්පෙළ - ඉංජිනේරු තාක්ෂණවේදය
ඉංජිනේරු තාක්ෂණවේදය civil short note part 02 ගොඩනැගිලි ඉදිකිරීමේදි බලපානු ලබන සම්මත නීතිරීති ශ්රි ලංකාවේ ඉදිකිරීම් කටයුතු සිදු කිරිමෙදි එ සඳහා නීතිරීති වලට යටත්ව සිදුකරනු ලබන සෑම ඉදිකිරිමක්ම ...

12-වසර - ව්‍යාපාර අධ්‍යයනය
ව්යාපාර පදනම (පළමු පාඩම ) 01. ව්යාපාරයක් යනු කුමක්දැයි නිවැරැදිව අර්ථ දක්වන්න. ලාභ හො ලාභ නොවන කිසියම් අරමුණක් ඉටුකරගැනීම සඳහා මිනිස් අවශ්යතා හා වුවමනා ඉටුකරන ඕනෑම ආර්ථික කටයුත්තක් ...