ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩී 1


(අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩී පිළිබද දැනුම අලුත් කර ගන්න.

a = මුල් පදය  ; d = පොදු පදය  ; l = අවසාන පදය  ; Tn = n වැනි පදය ;

d = T2 – T1 = T3 – T2 = Tn – Tn-1

l = a + ( n – 1 ) d ; a  සහ b පද දෙක අතර

සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය  = a + b

                               2

n  තරම් වූ පද ගණනක ඓක්‍යය = Sn

Sn = n ( a + l ) හෝ Sn = n { 2a + ( n – 1 ) d }

        2                            2

 

(ආ) ගුණෝතර ශ්‍රේඩීයක් බව නීර්ණය කිරීම.

නිදසුන 01

2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , .................

මෙම නිදසුනේ සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයේ පොදු අන්තරයක් සහිත නොවේ.එහෙත් එහි පොදු ගුණාකාරයක් තිබේ.

ඉහත නිදසුනේහි ,

2 , 2 × 2 , 2 × 3 , 2 × 4 , 2 × 5 , 2 × 6 , වශයෙන් 2 හි ගුණාකාර ඇත.

නිදසුන 02

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...................

මෙම නිදසුනත් සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයක් පොදු අනුපාතයක් සහාත නොවේ. එහෙත් එහි පොදු ගුණාකාරයක් තිබේ.

1 , 1 × 21 , 1 × 22 , 1 × 23 , 1 × 24 , වශයෙන් 2 හි බල වල ගුණාකාර ඇත.

* එම ගුණාකාර හදුන්වන්නේ පොදු අනුපාතය යනුවෙනි.

* පොදු අනුපාතය නියෝජනය කරන්නේ r සංකේතයනි.

* පොදු අනුපාතයක් සහිත සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයක් හැදින්වෙන්නේ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක් යනුවෙනි.

* සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක අනුයාත ( එක ළග පිහිටි ) පද දෙකක් ගෙන පළමු වැනි පදයෙන් දෙවැනි පදය බෙදු විට ලැබෙන අනුපාතය හැම විටකම සමාන වේ නම් ඒ සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය ගුණෝතර    ශ්‍රේඩීයකි.

 

(අැ) ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පළමු පදය සහ අවසාන පදය අන්ත සංඛ්‍යා ලෙස හැදින්වේ. එම සංඛ්‍යා දෙකටම මැදි වු පද ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය ලෙස හැදින්වේ.

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පද දෙකක් අතරට මධ්‍යන්‍ය එකක් හෝ වැඩි ගණනක් හෝ ඇතුළු කළ හැකිය.

  X , Z , Y , ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක අනුයාත පද තුනක් වු විට  X සහ  අන්ත පද ලෙස ද Z මධ්‍යන්‍යය පද ලෙස ද හදුන්වනු ලැබේ.

 ඉහත X , Z , Y , යන පද තුන ඇසුරෙන්

 Z ÷ X   =  Y ÷ Z =  r ලෙස සමීකරණයක් ලබා ගත් විට

 Z ÷ X  =  Y ÷ Z =  r

 එම නිසා X2 = ab

 එම නිසා X = ± (ab)½ ලෙස  X  හි අගය ලැබේ.

* පද දෙකක් අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය ලෙස ඒ පද දෙකේ ගුණිතයේ වර්ගමුලය ලියනු ලැබේ.

* x සහ y  අතර ගු‍ණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය තුනක් ඇතුළත් කීරීමේ දී ඒ පද ඇසුරෙන් පොදු අනුපාතය ලබාගෙන අවශ්‍ය මධ්‍යන්‍ය පද ඇතුළත් කරගත හැකිය.

නිදසුන 01

10 සහ 160 අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යයක් ලියන්න.

ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය X ලෙස ගත් විට,

X = √10 × 160

X = √1600

X = ± 40

ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය   = 40 හෝ -40

 

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය a ලෙසද පොදු අනුපාතය r ලෙසද සංකේත මගින් ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.

   පදය වෙනුවෙන් T සංකේතය යෙදේ.

  •     මුල් පදය            =  T1
  •     දෙවැනි පදය        =  T2
  •     තුන්වැනි පදය      =   T3
  •     n වැනි පදය       =    Tn

* සංකේත මගින් ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පද පහත දැක්වෙන අන්දමට ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.

T1 =  ar1-1   = ar0  = a

T2 =  ar2-1  = ar1  = ar

T3 =  ar3-1  = ar2 

Tn =  arn-1 = arn-1

 

(අ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පොදු අනුපාතය සෙවීම ( r සෙවීම )

* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ අනුයාත පද දෙකක් ගෙන පළමු වැන්නෙන් දෙවැන්න බෙදු විට පොදු අනුපාතය ලැබේ.

T2 ÷ T1       = ar ÷  a   = r ;  

T3 ÷ T1       = ar2 ÷ ar = r ;

Tn-1 ÷ Tn-2  = arn-1 ÷ arn-2 = r ;

Tn ÷  Tn-1    = arn ÷ arn-1   = r ;

නිදසුන 01

පහත දැක්වෙන සංඛ්‍යා අනුක්‍රමවල ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීවල  පොදු අනුපාතය ලියන්න.

1) 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ...................

6÷ 3 = 2 ; r = 2 ;

2)2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,  ...................

4 ÷ 2 = 2 ; r = 2 ;

* පොදු අනුපාතය ( r ) ධන සංඛ්‍යාවක් හෝ සෘණ සංඛ්‍යාවක් හෝ විය හැකිය. නිශ්ශුන්‍ය ( බිංදුව නොවු  ) පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් හෝ භාග සංඛ්‍යාවක් හෝ විය හැකිය. සංකේතයක් ද විය හැකිය.

 

(ආ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක දෙන ලද පදයක අගය සෙවීම

නිදසුන 01

1)2 , 6 , 18 , ............... ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ T6 සොයන්න.

        T6 = ar5 ;   a = 2 ; r = 3 ;

එම නිසා  ar 5 = 2 × 35 ( 35 = 125 )

           ar 5 = 2 × 125

           ar 5 = 250

2)X3Y2 , X2Y , X , ……………..ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ T9 සොයන්න.

       T9 = ar 8 ; a = X3 Y2 ; r =   1

                                               XY

           එම නිසා  ar 8 = ( X3Y2 ×     1     )8

                                                 XY

                            ar 8 = ( X3Y2 × X-8Y-8 )

                            ar 8 = X-5Y-6  1

                                                   X5Y6

 

(ඇ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක අනුයාත පද ගණනක ඓක්‍යය

ශ්‍රේඩීයේ අනුයාත පද ගණන n ලෙස ගත් විට පද ගණනෙහි ඓක්‍යය දැක්වෙන්නේ Sn යනුවෙනි.

a = මූල් පදය ද

r = පොදු අනුපාතය ද

n = පද ගණන ද

r > 1 ද වූ විට

 

Sn = a ( rn – 1 )  සූත්‍රය භාවිතයෙන් ලබා ගත හැකිය.

           r - 1

නිදසුන 01

මුල් පද 5 ද පොදු අනුපාතය 2 ද වු ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදයේ සිට පිළිවෙළින් පද අට ක ඓක්‍යය සොයන්න.

a = 5 , r = 2 , n = 8      r > 1 නිසා

           Sn =      a ( rn – 1 )

                              r  - 1

           S8 =   5 ( 28 – 1 )

                        2 – 1

එම නිසා S8 =   5 ( 256 – 1 )

                             1 

          S8 = 5 x 255

          S8 = 1275 

 

(ඈ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක a , r සහ  Sn  දුන්  විට n  සෙවීම r , n සහ  Sn  දුන් විට a  සෙවීම

නිදසුන 01

මුල් පදය 3 ද පොදු අනුපාතය 2 ද වූ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක ඓක්‍යය 765 ක් වීමට මූල් පදයේ සිට ගතයුතු පද ගණන සෙවීම.

 a = 3 , r = 2 , Sn  = 765

                a ( rn – 1 ) = Sn  

                      r – 1

              3 ( 2n – 1 )  =  765

                    2 – 1

    එම නිසා 3 ( 2n – 1 ) = 765

       එම නිසා( 2n – 1 )  =  765       =   255

                                     3

              එම නිසා   2n  =  255 + 1 = 256

              එම නිසා    2n = 28

                             n = 8

                    පද ගණන = 8




3849 0

ලිපිය කියවා ඇති ගණන
3849

ලිපිය බෙදාගන්න


විෂයට අදාල වෙනත් ලිපි


සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                            &nbs...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය a ලෙසද පොදු අනුපාතය r ලෙසද සංකේත මගින් ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.    පදය වෙනුවෙන් T සංකේතය යෙදේ.     මුල් පදය            =  T1     දෙවැනි පදය        =&nb...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
(අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩී පිළිබද දැනුම අලුත් කර ගන්න. a = මුල් පදය  ; d = පොදු පදය  ; l = අවසාන පදය  ; Tn = n වැනි පදය ; d = T2 – T1 = T3 – T2 = Tn – Tn-1 l = a + ( n – 1 ) d ; a  සහ b පද දෙක අතර සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය &...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
සමාන්තර ශ්‍රේඩී 5 (අ) සමාන්තර  ශ්‍රේඩීයක පිළිවෙළින් දෙන ලද අනුයාත පද සමුහයක ඓක්‍යය සෙවීම. මුල් පදය = a අවසාන පදය = l පද ගණන =  n වු විට පද ගණනක ඓක්‍යය = Sn  සෙවීමේ සුත්‍රය මෙලෙස දැක්වේ.        &...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
සමාන්තර මාධ්‍යන්‍යය T1 = a , T2 = a + d , T3 = a + 2d , වු විට T2 , T1 හි සහ  T3 හි මධ්‍යන්‍යය පහත පරිදි වේ. එය ලැබෙන්නේ T1  හි සහ T3 හි ඓක්‍යය 2 න් බෙදීමෙනි. [ T1 + T3 ]                   &nb...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                           සමාන්තර ශ්‍රේඩී 2 (අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය සහ පොදු අන්තරය යන දෙකෙන් එකක් සමග යම් කිසි පදයක් දුන් විට ශ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                              සමාන්තර ශ්‍රේණී 1 * සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක අනුයාත පද දෙකක් අතර නියත වෙනසක් ඇති විට එම සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය සමාන්තර ශ්‍රේණීයක් ලෙස හදුන්වනු ලබයි. න...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
   * එක් ප්‍රකාශනයක් තවත් ප්‍රකාශනයකට වඩා විශාල හෝ කුඩා බව දක්වන ප්‍රකාශන අසමානතා වේ.  * අසමානතා ලිවීමේදී  *  > , < ,  ≤ , ≥ , යන සංකේත භාවිතා කරයි නිදසුන්  අසමානතා ලකුණ භාවිත යෙදීම් පහත පරිද...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
(අ) 0 හා 1 අතර සංඛ්‍යාවල ලඝුගණක නිදසුන 01 0.278 මෙය විද්‍යාත්මක අංකනයෙන් ලියු විට 2.78 × 10-1 එම නිසා lg 0.278 පූර්ණාංශය - වේ.දශමාංශය + වේ.මෙහි ලඝුගණක ලියුවිට, පූර්ණාංශය T  ( වියුති 1 ) ලෙස ලියයි. Lg 0.563 = T.4440 වේ. (ආ) 0 හා 1 අතර සංඛ්‍යා...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
වර්ගජ සමීකරණ * අඥාත රාශිය වර්ග පදයක් වු සමීකරණය වර්ගජ සමීකරණයක් වේ. (අ) සාධක මගින් වර්ගජ සමීකරණ විසදීම  * පළමුව සමීකරණයේ සාධක සෙවිය යුතුය. එම සාධක වල ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන නම්, එහි එක් සාධකයක්  හෝ ශුන්‍යයට සමාන වේ. නිදසුන 01    2X2  ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                        සුත්‍ර  ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
 (අ) ලඝුගණක වගු භාවිතය  * 1 ට වැඩි ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් 10 බලයක් ලෙස ලීවීමේ දී එහි 10 පාදයේ ලඝුගණකය ලබා ගත හැකිය. 10  =  101  =  lg 10 = 1 100 =  102 =  lg100 =  2 10 යේ බලයක් ලෙස ලිවීය නොහැකි සංඛ්‍යා...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                    (අ) දර්ශක නීතී * පාද සමාන බල දෙකක්  ගුණ කිරීමේදී දර්ශක එකතු කරනු ලැබේ.  &nb...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                    * අඥාත රාශින් කීපයක් ඇති සමීකරණ සමගාමී සමීකරණ වේ.රාශින් දෙකක් ඇත්නම් ඒවා අතර...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                            ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                            &nbs...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
ගණිතයේ දී පයිතගරස් ප්‍රමේයය යනු  ජ්‍යාමිතියේ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද තුන අතර සම්බන්ධයකි. සාම්ප්‍රදායිකව මෙම ප්‍රමේයය සොයා ගෙන සාධනය කළා යැයි සැලකෙන ග්‍රීක ජාතික ගණිතඥයකු වන පයිතගරස් හට ගෞරවයක් ලෙස පයිතගරස් ප්‍රමේය ලෙස නම් කළ ද ඔහුට ප්&zw...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
ජ්‍යාමිතියේ දී භාවිත වන ප්‍රමේයයන්  ජ්‍යාමිතිය රඳා පැවතීම ට ප්‍රත්‍යක්ෂවල ට අමතර ව ප්‍රමේයයන් ද ඉතා වැදගත් වේ. මූලික ප්‍රමේයයන් ලක්ෂයක් වටා පිහිටි කෝණවල එකතුව අංශක 360 ක් වේ. සරල රේඛාවක් මත පිහිටි බද්ධ කෝණ කෝණවල එකතුව අංශක 1...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
පුළුවන් නම් මේ ගණං ටික හදමු බලන්න 01)මගේ වයස අවුරුදු y වේ. අවුරුදු 10කට පෙර පියාගේ වයස මගේ වයස මෙන් 4 ගුණයක් විය.දැන් අප              දෙදෙනාගේ වයස් වල එකතුව 60කි. අප දෙදෙනාගේ දැන් වයස් ගණනය කරන්න. 02)මිනිසෙකුගේ දැන් වයස පුතාගේ වයස මෙන්...
Uthpala Indunil

සාමාන්‍යපෙළ ගණිතය

අනෙකුත් ලිපි
12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
නාට්ය කලාවේ සීමා නාට්ය කලාව වෙනත් කලා මාධ්යන් හා සැසදීමේදී ඊට අවේනික සීමා රැසක් හදුනා ගත හැකිය. නාට්ය හා කතා කලාව කතා කලාව යන්නෙන් 'නවකතාව','කෙට් ...

12-වසර - රසායන විද්‍යාව
සිදුවන ක්රියාවට අනුව එන්තැල්පි විපර්යාස වර්ග කිරීම 01.සම්මත උත්පාදන එන්තැල්පිය සම්මත අවස්ථාවේ ඇති සංයෝග මවුල එකක් සම්මත අවස්ථාවේ ඇති එහි සංඝටක මූලද්රව්ය වලින් උත්පාදනය කිරීමේදී සිදුවන සිදු ...

13-වසර - ආර්ථික විද්‍යාව
ආර්ථික විද්යාව පිළිබද සාමාන්ය දැනීම් ප්රශ්න මාලාවක් මෙම ලිපිය මගින් ඔබට සැපයේ.මෙය ඔබගේ ආර්ථික විද්යා දැනුම වැඩි කර ගැනීමටත්,කාලීන සාමාන්ය දැනුමවැඩි කර ගැනීමටත් ඉවහල් වන ...

13-වසර - ආර්ථික විද්‍යාව
ආර්ථික විද්යාව පිළිබද සාමාන්ය දැනීම් ප්රශ්න මාලාවක් මෙම ලිපිය මගින් ඔබට සැපයේ.මෙය ඔබගේ ආර්ථික විද්යා දැනුම වැඩි කර ගැනීමටත්,කාලීන සාමාන්ය දැනුමවැඩි කර ගැනීමටත් ඉවහල් වන ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
රංග රිද්මය (Rythem of Acting ) නාට්ය ප්රෙක්ෂක මනසේ"යථාර්ථයේ මායාව"ගොඩනැගීම බහුතරයක් රංගනයන් මගින් සිදු වෙි. රංග රිද්මය ඊට මනා පිටුබලයක් වෙි.රංග රිද්මය අමතන්නේ ප්රේක්ෂක වින්දනයට හා ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
නාට්ය හා රංග කලාවෙි මුලික සංකල්ප ෴ සමාරෝපය (Impersonation ) ක්ෂණික නිරූපණය(Quick portray) අවස්ථා නිරූපණය(Situation portray ) භූමිකා නිරූපණය(Caractor portray) සමාරෝපය (Impersonation ) පවතින සැබෑ යථා ස්වරූපයෙන් බැහැරව වෙනත් අයෙකුගේ ව්ලිසය ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
අනුකරණය(Imitation) අනුකරණය ,ප්රාග් ඓතිහාසික යුගයේ සිට පැවෙතෙන සහජ මානව ක්රියාවලියකි.මිනිසා විද්යාත්මක, තාර්කික චින්තනයෙන් ලෝකය හැසිරවීමට පටන් ගැනීමට පෙර මිත්යාවෙි දැඩිව එල්බ සිට්යේය. ස්වභාවධර්මයේ වස්තූන්ට හා ක්රියාවන්ට ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
නෘත්ත,නෘත්ය,නාට්ය ඉහත සඳහන් නෘත්ත,නෘත්ය,නාට්ය යන මෙි වචන තුන නාට්ය ශාස්ත්රයේ යේදී ඇත්තේ ඊට ආවෙිණික විශේෂ අර්ථ පදනමි කරගෙනය. මෙ⁣ම වචන තුන සංස්කෘත "නෘත්" ධාතුවෙන් ද එසේත් ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
කලාව "කලාව"යන වචනය කවදත් විවිධ මත පළකරනු ලබන පදයකි.පැරණි බ්රාහ්මණ පඬිවරු කලාව,රසාස්වාදය සඳහා හේතුවන බව කීහ. කලාව(Art) යනු 'කුසලතාව'යි. කලාව පිළිබදව අර්ථ නිරූපනයට වෙහෙස වුවෝ ඒ ...

11-වසර - ඉංග්‍රීසි භාෂාව
මුලින්ම කියන්න ඕන මේක මගේ පළවෙනි අධ්යාපනික ලිපිය අධ්යන පොදු සහතික පත්රයේ දී ලකුණු දහයක ප්රශ්නයක් වන ප්රස්තාර විස්තර කිරීම හෙවත් bar graph බොහෝ ළමුන් උනන්දුවක් ...