පයිතගරස් ප්‍රමේයය


ගණිතයේ දී පයිතගරස් ප්‍රමේයය යනු  ජ්‍යාමිතියේ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද තුන අතර සම්බන්ධයකි. සාම්ප්‍රදායිකව මෙම ප්‍රමේයය සොයා ගෙන සාධනය කළා යැයි සැලකෙන ග්‍රීක ජාතික ගණිතඥයකු වන පයිතගරස් හට ගෞරවයක් ලෙස පයිතගරස් ප්‍රමේය ලෙස නම් කළ ද ඔහුට ප්‍රථමයෙන් මෙම ප්‍ර‍මේයය භාවිතයේ තිබී ඇති බවට සාක්ෂි ඇත.නමුත් මෙය විදයත්මකව ඔප්පුකර ලොවට හදුන්වා දුන් නිස එය සොයා ගැනිමෙ ගෞරවය පයිතගරස්ට හිමිවේ..

 
පයිතගරස් ප්‍රමේයය : සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණය (c) මත ඇඳි සමචතුරස්‍රයේ වර්ගඵලය ඉතිරි පාද දෙක (a හා b) මත ඇඳි සමචතුරස්‍රවල වර්ගඵලයන්හි ඓක්‍යයට සමාන වේ.

 

 

 

ප්‍රමේයය පහත පරිදි ද ඉදිරිපත් කළ හැක.

සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණය (සෘජු කෝණයට සම්මුඛ පාදය) පාදයක් වන සමචතුරස්‍රයේ වර්ගඵලය ඉතිරි පාද දෙක (සෘජු කෝණයේ දී හමුවන පාද) පාද වශයෙන් වූ සමචතුරස්‍ර දෙකෙහි වර්ගඵලවල ඓක්‍යයට සමාන වේ. එය පහත පරිදි සැකෙවින් දැක්විය හැක. කර්ණයේ වර්ගය ඉතිරි පාද දෙකෙහි වර්ගවල ඓක්‍යයට සමාන වේ. කර්ණයේ දිග c ලෙස ද ඉතිරි පාද දෙකෙහි දිගවල් a හා b ලෙස ද ගත් විට පයිතගරස් ප්‍රමේයය පහත පරිදි සමීකරණයකින් ප්‍රකාශ කළ හැක.

a^2 + b^2 = c^2\!\,


හෝ c සඳහා විසඳුම ලෙස,

 c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,

මෙම සමීකරණය මගින් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාදවල දිග අතර සම්බන්ධයක් ලබා දේ. එනම් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක දිග දන්නේ නම් ඉතිරි පාදයේ දිග සොයාගත හැක. ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක දිග හා එම පාද දෙක අතර කෝණය දන්නේ නම් ඉතිරි පාදයේ දිග සොයා ගැනීමට භාවිතා කරන කෝසයින නීතිය පයිතගරස් ප්‍රමේයයේ සාධාරණීකරනයකි. පාද අතර කෝණය සෘජු කෝණයක් වූ විට කොසයින නීතිය පයිතගරස් ප්‍රමේයය බවට ඌනනය වේ.

ප්‍රමේයයෙහි ප්‍රතිවිපාක සහ ප්‍රයෝජන

පයිතගර ත්‍රිත්ව

පයිතගර ත්‍රිත්වය a^2 + b^2 = c^2 ලෙස වන a, b, සහ c යන ධන නිඛිල තුනකින් සමන්විත වේ. වෙනත් ආකාරයකින් සඳහන් කරන්නේ නම් පයිතගරස් ත්‍රිත්වය මගින් සියලු පාදවල දිග ධන නිඛිලවන සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාදයන්හි දිග නිරූපණය කරයි. උතුරු යුරෝපයේ විශාල ශිලා ස්මාරකවල සාක්ෂි මගින් ලිවීම සොයා ගැනීමටත් පෙර මෙවැනි ත්‍රිත්ව දැන සිටි බවට සාක්ෂි දක්නට ලැබේ. මෙවැනි ත්‍රිත්වයක් පොදුවේ (a, b, c) ලෙස ලියනු ලැබේ. (3, 4, 5) හා (5, 12, 13) ඉතා හොඳින් හඳුනන නිදසුන් වේ.


100 දක්වා වූ මූලික පයිතගරස් ත්‍රිත්ව ලැයිස්තු‍ව පහත පරිදි වේ.


( 3, 4, 5), ( 5, 12, 13), ( 7, 24, 25), ( 8, 15, 17), ( 9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

 

අපරිමේය සංඛ්‍යාවල පැවැත්ම

පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙහි එක් ප්‍රතිඵලයක් වන්නේ දෙකෙහි වර්ග මූලය (\sqrt{2}) වැනි අපරිමේය සංඛ්‍යා ගොඩනැගිය හැකි වීමයි. බද්ධ පාද දෙකෙහිම දිග ඒකක එකක් වන සෘජු කෝණී ත්‍රිකෝණයක \sqrt{2} ක දිගක් ඇති විකර්ණයක් ඇත. පයිතගරස් හා ඔහුගේ අනුගාමිකයන් \sqrt{2} අපරිමේය බව සාධනය කළ අතර අද එය අප අතරට ද පැමිණ‍ තිබේ. නමුත් ඔවුන්ගේම දැඩි විශ්වාසයට මෙය පටහැනි විය. පුරා වෘත්තාන්තවලට අනුව ප්‍රථමයෙන්ම වර්ගමූල දෙක අපරිමේය යැයි සාධනය කළ හිපාසස් (Hippasus) කළ වරදට දඬුවම් ලෙස මුහුදේ ගිල්වා මරා දමන ලදී

කාටිසීය ඛණ්ඩාංකවල දුර

කාටිසීය ඛණ්ඩාංකවල දුර පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් ව්‍යුත්පන්න කරයි. (x0, y0) හා (x1, y1) යනු තලයක වූ ලක්ෂ්‍ය නම් එවිට එම ලක්ෂ්‍ය දෙක අතර දුර ,

 \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} මගින් දෙනු ලබයි.

පොදු වශයෙන් ගත් කල, නිදහස් n-අවකාශයෙහිදී, A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n) සහ B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n) යන ලක්ෂ්‍යය දෙකක් අතර නිදහස්දුර අර්ථදැක්වෙන්නේ, පහත අයුරු පයිතගරස් ප්‍රමේයය සාධාරණ සමිකරනය යෙදිමෙනි

\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.



4946 3

ලිපිය කියවා ඇති ගණන
4946

ලිපිය බෙදාගන්න


විෂයට අදාල වෙනත් ලිපි


සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                            &nbs...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය a ලෙසද පොදු අනුපාතය r ලෙසද සංකේත මගින් ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.    පදය වෙනුවෙන් T සංකේතය යෙදේ.     මුල් පදය            =  T1     දෙවැනි පදය        =&nb...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
(අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩී පිළිබද දැනුම අලුත් කර ගන්න. a = මුල් පදය  ; d = පොදු පදය  ; l = අවසාන පදය  ; Tn = n වැනි පදය ; d = T2 – T1 = T3 – T2 = Tn – Tn-1 l = a + ( n – 1 ) d ; a  සහ b පද දෙක අතර සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය &...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
සමාන්තර ශ්‍රේඩී 5 (අ) සමාන්තර  ශ්‍රේඩීයක පිළිවෙළින් දෙන ලද අනුයාත පද සමුහයක ඓක්‍යය සෙවීම. මුල් පදය = a අවසාන පදය = l පද ගණන =  n වු විට පද ගණනක ඓක්‍යය = Sn  සෙවීමේ සුත්‍රය මෙලෙස දැක්වේ.        &...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
සමාන්තර මාධ්‍යන්‍යය T1 = a , T2 = a + d , T3 = a + 2d , වු විට T2 , T1 හි සහ  T3 හි මධ්‍යන්‍යය පහත පරිදි වේ. එය ලැබෙන්නේ T1  හි සහ T3 හි ඓක්‍යය 2 න් බෙදීමෙනි. [ T1 + T3 ]                   &nb...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                           සමාන්තර ශ්‍රේඩී 2 (අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය සහ පොදු අන්තරය යන දෙකෙන් එකක් සමග යම් කිසි පදයක් දුන් විට ශ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                              සමාන්තර ශ්‍රේණී 1 * සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක අනුයාත පද දෙකක් අතර නියත වෙනසක් ඇති විට එම සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය සමාන්තර ශ්‍රේණීයක් ලෙස හදුන්වනු ලබයි. න...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
   * එක් ප්‍රකාශනයක් තවත් ප්‍රකාශනයකට වඩා විශාල හෝ කුඩා බව දක්වන ප්‍රකාශන අසමානතා වේ.  * අසමානතා ලිවීමේදී  *  > , < ,  ≤ , ≥ , යන සංකේත භාවිතා කරයි නිදසුන්  අසමානතා ලකුණ භාවිත යෙදීම් පහත පරිද...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
(අ) 0 හා 1 අතර සංඛ්‍යාවල ලඝුගණක නිදසුන 01 0.278 මෙය විද්‍යාත්මක අංකනයෙන් ලියු විට 2.78 × 10-1 එම නිසා lg 0.278 පූර්ණාංශය - වේ.දශමාංශය + වේ.මෙහි ලඝුගණක ලියුවිට, පූර්ණාංශය T  ( වියුති 1 ) ලෙස ලියයි. Lg 0.563 = T.4440 වේ. (ආ) 0 හා 1 අතර සංඛ්‍යා...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
වර්ගජ සමීකරණ * අඥාත රාශිය වර්ග පදයක් වු සමීකරණය වර්ගජ සමීකරණයක් වේ. (අ) සාධක මගින් වර්ගජ සමීකරණ විසදීම  * පළමුව සමීකරණයේ සාධක සෙවිය යුතුය. එම සාධක වල ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන නම්, එහි එක් සාධකයක්  හෝ ශුන්‍යයට සමාන වේ. නිදසුන 01    2X2  ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                        සුත්‍ර  ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
 (අ) ලඝුගණක වගු භාවිතය  * 1 ට වැඩි ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් 10 බලයක් ලෙස ලීවීමේ දී එහි 10 පාදයේ ලඝුගණකය ලබා ගත හැකිය. 10  =  101  =  lg 10 = 1 100 =  102 =  lg100 =  2 10 යේ බලයක් ලෙස ලිවීය නොහැකි සංඛ්‍යා...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                    (අ) දර්ශක නීතී * පාද සමාන බල දෙකක්  ගුණ කිරීමේදී දර්ශක එකතු කරනු ලැබේ.  &nb...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                    * අඥාත රාශින් කීපයක් ඇති සමීකරණ සමගාමී සමීකරණ වේ.රාශින් දෙකක් ඇත්නම් ඒවා අතර...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                            ...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
                                                                            &nbs...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
ගණිතයේ දී පයිතගරස් ප්‍රමේයය යනු  ජ්‍යාමිතියේ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද තුන අතර සම්බන්ධයකි. සාම්ප්‍රදායිකව මෙම ප්‍රමේයය සොයා ගෙන සාධනය කළා යැයි සැලකෙන ග්‍රීක ජාතික ගණිතඥයකු වන පයිතගරස් හට ගෞරවයක් ලෙස පයිතගරස් ප්‍රමේය ලෙස නම් කළ ද ඔහුට ප්&zw...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
ජ්‍යාමිතියේ දී භාවිත වන ප්‍රමේයයන්  ජ්‍යාමිතිය රඳා පැවතීම ට ප්‍රත්‍යක්ෂවල ට අමතර ව ප්‍රමේයයන් ද ඉතා වැදගත් වේ. මූලික ප්‍රමේයයන් ලක්ෂයක් වටා පිහිටි කෝණවල එකතුව අංශක 360 ක් වේ. සරල රේඛාවක් මත පිහිටි බද්ධ කෝණ කෝණවල එකතුව අංශක 1...
සාමාන්‍යපෙළ - ගණිතය
පුළුවන් නම් මේ ගණං ටික හදමු බලන්න 01)මගේ වයස අවුරුදු y වේ. අවුරුදු 10කට පෙර පියාගේ වයස මගේ වයස මෙන් 4 ගුණයක් විය.දැන් අප              දෙදෙනාගේ වයස් වල එකතුව 60කි. අප දෙදෙනාගේ දැන් වයස් ගණනය කරන්න. 02)මිනිසෙකුගේ දැන් වයස පුතාගේ වයස මෙන්...
Hashan Buddhika

සාමාන්‍යපෙළ ගණිතය

අනෙකුත් ලිපි
12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
නාට්ය කලාවේ සීමා නාට්ය කලාව වෙනත් කලා මාධ්යන් හා සැසදීමේදී ඊට අවේනික සීමා රැසක් හදුනා ගත හැකිය. නාට්ය හා කතා කලාව කතා කලාව යන්නෙන් 'නවකතාව','කෙට් ...

12-වසර - රසායන විද්‍යාව
සිදුවන ක්රියාවට අනුව එන්තැල්පි විපර්යාස වර්ග කිරීම 01.සම්මත උත්පාදන එන්තැල්පිය සම්මත අවස්ථාවේ ඇති සංයෝග මවුල එකක් සම්මත අවස්ථාවේ ඇති එහි සංඝටක මූලද්රව්ය වලින් උත්පාදනය කිරීමේදී සිදුවන සිදු ...

13-වසර - ආර්ථික විද්‍යාව
ආර්ථික විද්යාව පිළිබද සාමාන්ය දැනීම් ප්රශ්න මාලාවක් මෙම ලිපිය මගින් ඔබට සැපයේ.මෙය ඔබගේ ආර්ථික විද්යා දැනුම වැඩි කර ගැනීමටත්,කාලීන සාමාන්ය දැනුමවැඩි කර ගැනීමටත් ඉවහල් වන ...

13-වසර - ආර්ථික විද්‍යාව
ආර්ථික විද්යාව පිළිබද සාමාන්ය දැනීම් ප්රශ්න මාලාවක් මෙම ලිපිය මගින් ඔබට සැපයේ.මෙය ඔබගේ ආර්ථික විද්යා දැනුම වැඩි කර ගැනීමටත්,කාලීන සාමාන්ය දැනුමවැඩි කර ගැනීමටත් ඉවහල් වන ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
රංග රිද්මය (Rythem of Acting ) නාට්ය ප්රෙක්ෂක මනසේ"යථාර්ථයේ මායාව"ගොඩනැගීම බහුතරයක් රංගනයන් මගින් සිදු වෙි. රංග රිද්මය ඊට මනා පිටුබලයක් වෙි.රංග රිද්මය අමතන්නේ ප්රේක්ෂක වින්දනයට හා ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
නාට්ය හා රංග කලාවෙි මුලික සංකල්ප ෴ සමාරෝපය (Impersonation ) ක්ෂණික නිරූපණය(Quick portray) අවස්ථා නිරූපණය(Situation portray ) භූමිකා නිරූපණය(Caractor portray) සමාරෝපය (Impersonation ) පවතින සැබෑ යථා ස්වරූපයෙන් බැහැරව වෙනත් අයෙකුගේ ව්ලිසය ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
අනුකරණය(Imitation) අනුකරණය ,ප්රාග් ඓතිහාසික යුගයේ සිට පැවෙතෙන සහජ මානව ක්රියාවලියකි.මිනිසා විද්යාත්මක, තාර්කික චින්තනයෙන් ලෝකය හැසිරවීමට පටන් ගැනීමට පෙර මිත්යාවෙි දැඩිව එල්බ සිට්යේය. ස්වභාවධර්මයේ වස්තූන්ට හා ක්රියාවන්ට ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
නෘත්ත,නෘත්ය,නාට්ය ඉහත සඳහන් නෘත්ත,නෘත්ය,නාට්ය යන මෙි වචන තුන නාට්ය ශාස්ත්රයේ යේදී ඇත්තේ ඊට ආවෙිණික විශේෂ අර්ථ පදනමි කරගෙනය. මෙ⁣ම වචන තුන සංස්කෘත "නෘත්" ධාතුවෙන් ද එසේත් ...

12-වසර - නාට්‍ය හා රංග කලාව
කලාව "කලාව"යන වචනය කවදත් විවිධ මත පළකරනු ලබන පදයකි.පැරණි බ්රාහ්මණ පඬිවරු කලාව,රසාස්වාදය සඳහා හේතුවන බව කීහ. කලාව(Art) යනු 'කුසලතාව'යි. කලාව පිළිබදව අර්ථ නිරූපනයට වෙහෙස වුවෝ ඒ ...

11-වසර - ඉංග්‍රීසි භාෂාව
මුලින්ම කියන්න ඕන මේක මගේ පළවෙනි අධ්යාපනික ලිපිය අධ්යන පොදු සහතික පත්රයේ දී ලකුණු දහයක ප්රශ්නයක් වන ප්රස්තාර විස්තර කිරීම හෙවත් bar graph බොහෝ ළමුන් උනන්දුවක් ...