වර්ගජ සමීකරණ

වර්ගජ සමීකරණ

a, b, c තාත්වික නියතද, a නිශ්ශුන්‍ය වනවිටද, ax²+bx+c=0 ආකාරයේ සමීකරණයක් වර්ගජ සමීකරණයක් වේ.

මෙම වර්ගජ සමීකරණය තෘප්ත කරන x හි අගයන් එම සමිකරණයේ මුල වේ.

උදා-

1.x²-x-6=0 හි මූල සොයමු.

(x-2)(x+2)=0

x-3=0,x+2=0

x=3,x=-2

එනම් ඉහත සමීකරණයට තාත්වික ප්‍රභින්න ( වෙනස් ) මූල 2ක් පවතී.

2. x²-8x+16=0

(x-4)²=0

x=4

එනම් මෙම සමීකරණයට ඇත්තේ එක මුලයක් පමණි.( සමපාත මූල පවතී )

x²+6x+10=0

(x+3)²+10-9=0

(x+3)²+1=0

x+3=±√(-1)

එනම් මූල අතාත්වික වේ.

සාධාරණ වර්ගජ සමීකරණයක් විසදීම.

ax²+bx+c=0

x²+bx/a+c/a=0

(x+b/2a)²+c/a-(b²/4a)=0

(x+b/2a)=±√(b²-4ac)

X=[-b±√(b²-4ac)]/2a

 විවේචකය(∆)

ax²+bx+c=0 ආකාරයේ වර්ගජ සමීකරණයක ∆= b²-4ac යන්න විවේචකය ලෙස හැදින්වේ.

*ඕනෑම වර්ගජ සමීකරණයක,

            ∆_x>0 නම් තාත්වික ප්‍රභින්න මූල 2ක්ද,

            ∆_x =0 නම් තාත්වික සමපාත මුල 2ක්ද

            ∆_x

එනම් ax²+bx+c=0 වර්ගජ සමීකරණයට ∆_x>=< ම නම් පමණක් තාත්වික ප්‍රභින්න, තාත්වික සමපාත, අතාත්වික මූල පවතින බව කිව හැකිය.

*** a හා c ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගන්නා විට ax²+bx+c=0හි මූල තාත්වික හා ප්‍රභින්න බව පෙන්වන්න.

මෙහි ∆= b²-4ac වේ.

මෙහි b²≥0 වේ..

a,c ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගන්නා විට ac ගුණිතය < 0 වේ.

එනම් එවිට -4ac>0 වේ

එනම් එවිට b²-4ac>0 වේ.

එනම් a,c ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගන්නා විට ∆_x>0 වේ.

එනම් a,c ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගන්නා විට ax²+bx+c=0හි මූල තාත්වික හා ප්‍රභින්න පවතී.

වර්ගජ සමීකරණයක මුල හා සංගුණක අතර සම්බන්ධය.

ax²+bx+c=0 සමීකරණයට තාත්වික මුල ඇතැයිද, ඒවා α,β ලෙසද ගනිමු.

1වන ක්‍රමය

මූල α,β වන වර්ගජ සම්මේකරණයේ (x-α) (x-β) = 0 ලෙස ගත හැකිය.

එයම  x²-( α+ β)x+ α β = 0 වේ.

x^{2 +}  bx + c = 0

ඉහත දැක්වෙන ක්‍රම 2හිම මුල එකම වන අත්බවින් (සමාන) ඒවායේ සංගුණක අතර අනුපාතය නියත විය යුතුය.

1/a = -( α+ β)/b = α β/c

එනම්

1/a = -( α+ β)/b ; 1/a = α β/c

එම නිසා  α+ β = -b/a , αβ = c/a

2වන ක්‍රමය

            .ax² +bx²+c = 0 හි  මූල α,β  ලෙස ගනිමු.

එවිට  එම මූල පහත  ලෙස ගත හැකිය.

a න් බෙදීමෙන්(a නිශ්ශුන්‍ය විට )

 x²+bx/a+c/a=0

(x+b/2a)²+c/a-(b²/4a)=0

(x+b/2a)=±√(b²-4ac)

x=[-b±√(b²-4ac)]/2a

මේ ලැබෙන්නේ x හි අගයයි.

එවිට,

α = [-b+√(b²-4ac)]/2a

β = [-b-√(b²-4ac)]/2a

α+β= -b/a

αβ = c/a

තාත්වික මූල ඇති වර්ගජ සමීකරණ වල ලකුණු.

(1 ).අවශ්‍යතා

            මූල දෙකම ධන වීම සදහා අවශ්‍යතාව.

ax² +bx²+c = 0 ට තාත්වික මුල ඇතැයිද ඒවා α,β  ලෙසද ගනිමු. එවිට α+β= -b/a ද      αβ = c/aද වේ.

                        මූල දෙකම ධන වීමට නම් α+β>0 හා αβ>0 විය යුතුය

                                    එනම් α+β>0 විය යුතුය.

                                    එනම් -b/a >0 විය යුතුය.

                                    එනම් b/a

                                    එනම් b හා a ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගත යුතුය.

                                    තවද αβ>0 ද විය යුතුය.

                                    එනම් c/a ද විය යුතුය.

                                    එනම් a හා c එකම ලකුණ ගත යුතුය.

මේ අනුව මූල දෙකම ධන විය යුතු අවශ්‍යතාව වන්නේ a හා c එකම ලකුණත්, b ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගැනීමත්ය.

            මූල දෙකම ඍන වීම සදහා අවශ්‍යතාවය

                        මූල දෙකම ඍන වීමට α+β0 විය යුතුය.

                        එනම් -b/a 0 විය යුතුය.

                        එනම් b/a>0 හා c/a>0 විය යුතුය.

                        එනම් a හා bද, c හා a ද  සමාන ලකුණු ගත යුතුය.

                        මේ අනුව මූල දෙකම ඍන වීමට අවශ්‍යතාව වන්නේ a,b,c එකම ලකුණ

                        ගැනීමය.

            මුල දෙක ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගැනීම සදහා අවශ්‍යතාවය.

                        මේ සදහා αβ

                        එනම් c/a

                        එනම් a හා c ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගත යුතුය.

 මේ අනුව මූල දෙක ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගැනීම සදහා අවශ්‍යතාව වන්නේ a,c ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ ගැනීමය.