ශ්‍රිතයක සීමාව
සීමාව ගණන් හදන්න පුළුවන් උනාට ගොඩක් වෙලාවට සීමාව ගැන හොඳ පැහැදිලි චිත්‍රයක් අපි අතරේ නැති වෙන්න පුළුවන්. ඇත්තටම මොකක්ද මේ ශ්‍රිතයක සීමාව කියන්නේ?
ගණිත ගැටලුවක දේවල් වෙනස් නොවෙන තාක්කල් සහ රේඛාවන් සරල රේඛා වෙලා තියනකන් ඒවා අධ්‍යනය කරන්න අපිට සාමාන්‍ය වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය භාවිතා කරන්න පුළුවන්, හැබැයි දේවල් වෙනස් වෙන්න ගත්තම සහ රේඛා වක්‍ර වෙන්න ගත්තම "කලනය" භාවිතා කරන්න වෙනවා කියල කියමනක් තියනවා. කලනය කියන විෂය කොටස ක්‍රියා කරවන මැජික් එක විදියට සීමාව හඳුන්වන්න පුළුවන්.
හිතන්න අපි ප්‍රස්තාරයක් අඳින්න යනවා වායුවක පීඩනය සමග උෂ්ණත්වය වෙනස් වෙන විදිය, මේ වැඩේ කරද්දී කෙනෙක්ට අවශ්‍ය වෙනවා දත්ත ලබාගන්න. ඉතින් කෙනෙක්ට උවමනා උනොත් වායු පීඩනය බින්දුවේදී උෂ්ණත්වයේ අගය මනින්න මේක කරන්න අමාරු වැඩක් නෙමෙයි කරන්න බැරි වැඩක් බව කාටත් තේරෙනවා. මෙන්න මේ වගේ වෙලාවට තමයි අපිට සීමාව කියන සංකල්පය වැදගත් වෙන්නේ, අපි බලනවා ශුන්ය පීඩනයට ඉතාම ආසන්න වෙද්දී උෂ්ණත්වයට මොකද වෙන්න කියල, උෂ්ණත්වයත් යම් කිසි අගයකට ආසන්න වෙනවනම් ඒ අනුව අපි ශුන්ය පීඩනයේදී උෂ්ණත්වය සඳහා යම් අගයක් හිතාගන්නව.
අන්තර්ජාලයෙන් හමු වුනු ආකර්ශනීය උදාහරණයක් ගත්තොත් අපි පාපන්දු තරඟයක් බලද්දී මෙන්න මෙහෙම දෙයක් වෙනවා.
දැන් 4.00 බෝලය තියන තැන අපිට දැක ගන්න බැරි උනා හැබැයි 3.59 සහ 4.01 යන අවස්ථා දෙකේදී බෝලය තියන තැන අනුව අපිට යම් අදහසක් ලබාගන්න පුළුවන් 4.00 දී බෝලය තියන තැන ගැන. තවත් ටිකක් ඕනනම් අපිට 3.59.9 දී බෝලය තියන තැනයි 4.00.1 දී තියන තැනයි බලන්න පුළුවන්, එහෙමත් නැත්නම් 3.59.999 දියි 4.00.001 දී තියන තැනයි බලල නිගමනයකට එන්න පුළුවන්. ඉතින් මෙන්න මේ වගේ අපි 4.00ට කැමති තරම් ආසන්න වෙලා (4.00 දී බලන්නේ නෑ හැබැයි) බලනවා බෝලයේ පිහිටීම. ඒ අනුව ගොඩක් හොඳ නිගමනයකට එන්න පුළුවන් වෙනව.
දැන් හිතන්න f(x) කියන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකය උප කුලකයක සිට තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකයට අර්ථ දක්වපු ශ්‍රිතයක් කියල. දැන් අපිට අවශ්‍ය වෙනව මේ ශ්‍රිතයේ x යම් ලක්ෂයකට අපි a කියල හිතමු, aට ආසන්න වෙද්දී f(x)ට මොකද වෙන්නේ කියල හොයන්න.
උදාහරණයක් විදියට අපි f(x)=x²-4 කියල ගමු. දැන් අපිට ඕන x=2 දී f(x) ගේ අගය බලන්න. දැන් අපි බලමු x අගය 2ට ආසන්න වෙද්දී f(x)ට මොකද වෙන්නෙ කියල.
අපිට දකින්න පුළුවන් සංඛ්‍යා රේඛාවක් දිගේ x ගේ අගය වම් පැත්තෙන් හරි දකුණු පැත්තෙන් හරි 2ට ආසන්න වෙද්දී f(x) ක්‍රමයෙන් 0 ට ආසන්න වෙන බව.
මෙන්න මේ වගේ x ගේ අගය a කියල අගයකට ආසන්න වෙද්දී f(x) යම් L කියල අගයකට ආසන්න වෙනවනම් අපි කියනව "L යනු x හි අගය a වෙත ආසන්න වෙන විට f(x) හි සීමාව වේ" කියල.
අර කලින් පාපන්දු උදාහරණයම බැලුවොත්, අපි අනුමාන කරනවා 4.00 දී බෝලය තියෙන්නේ A කියන ස්ථානයේ කියල. ඒ අනුමානය ගත්තේ 3.59සහ 4.01 දී බෝලය තිබුන තැන බලල. දැන් රූප සටහනේ විදියට අපි හිතමු Aගේ ඉඳල k දුර බැගින් දෙපැත්තට නිල් කොටුව ඇතුලේ බෝලය තියෙන වෙලාවල් වලදී බෝලයේ ඒ ඒ ඉහිටීම් වලට අදාළ කාල ටික ලකුණු කලොත් ඒවා තියෙන්නේ රෝස කොටුවේ ඒ කියන්නේ 4.00 ඉඳල m දුර බැගින් දෙපසට තියන කොටුවේ කියල.
දැන් අපිට මේ k කියන අගය මොන තරම් විශාල හෝ කුඩා හෝ ධන අගයක් උනත් මේ අවශ්යාතා ඔක්කම තෘප්ත කරන m කියල ධන අගයක් හොයාගන්න පුලුවන්නම්, අපිට කියන්න පුළුවන් සීමාව කියන සංකල්පය භාවිතා කරලා වෙලාව 4.00ට ආසන්න වෙද්දී බෝලය A පිහිටීමට ආසන්න වෙනවා කියල.
මේකම ගණිතමය විදියට අපි කලින් කතා කරපු ශ්‍රිතයට අදාළ වෙන විදියට කිව්වොත් "ε යනු ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් විට පහත අවශ්‍යතාව සපුරාලන පරිදි δ නම් ධන සංඛ්‍යාවක් ඇත්නම් ම පමණක්, a වෙත x එළඹෙන විට f(x) හි සීමාව L යයි කියනු ලබයි.
අවශ්‍යතාව: සියලු x∈(a-δ,a+δ) සහ x≠a සඳහා f(x)∈(L-ε,L+ε) විය යුතුය.
ඉහත අර්ථ දැක්වීම තමයි සීමාව පිළිඹඳ ඉතා හොඳ නිවැරදිම අර්ථ දැක්වීම වෙන්නේ.
සීමාව ගැන මේ වගේ සීමාවක් නැතුවම කතා කරන්න පුළුවන්. අපි තවම වමත් සීමා, දකුණත් සීමා ඒ වගේම ශ්‍රිතයක සීමාවක් පැවතීම නොපැවතීම වගේ දේවල් ගැන කතා කරේ නැහැ. ඒ දේවල් ගැන වෙනත් සටහනකින් කතා කරමු.
මූලාශ්‍ර: කලනය (අධ්‍යාපන ප්‍රකාශන දෙපාර්තමේන්තුව)
Calculus Workbook For Dummies (Mark Ryan)
