උසස්පෙළ සංයුක්ත ගණිතය

සංකරණ සහ සංයෝජන-2

සංයෝජන(තේරීම්)

යම් ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණයකින් සියල්ලම හෝ ඉන් කිහිපයක් ගෙන සදනු ලබන සමුහ වලට සංයෝජන යැයි කියනු ලැබේ.

සැ.යු - මෙම සමුහ වලට පටිපාටිය බලනොපායි.

 

උදා:-a,b, හා c අතුරින් දෙක බැගින් කල හැකි සංයෝජන ආකාර සලකමු

            a,b|b,c|c,a

ප්‍රමේයය

වෙනස් ද්‍රව්‍ය n ගණනකින් r බැගින් ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන nCවේ.

 

1.පන්තියක ළමුන් 8දෙනෙක් සිටියි.ඉන් තුන බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන කොපමණද?

            මුළු ළමුන් ගණන=8

            එමනිසා ඉන් 3 බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන= 8C3=  8!/(5!x3!)

 

පන්තියක ළමුන් 10ක් සිටියි.මොවුන් අතුරින් 4 බැගින් යුත් කණ්ඩායමක් සාදාගත යුතුය.

(i).කිසිදු විශේෂයක් නැතිව කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

            මුළු ළමුන් ගණන=10

            එමනිසා ඉන් 4 බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන= 10C4=  10!/(6!x4!)=210

 (ii)පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් වන පරිදි කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

            පන්ති නායකයා මුලින් ඇතුලත් කලවිට මුළු ළමුන් ගණන=9

            එවිට අදාළ කණ්ඩායමට ඉතිරි තිදෙනා තෝරාගත හැකි ආකාර= 9C3=  9!/(6!x3!)=84

(iii).පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් නොවන පරිදි කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

            I ක්‍රමය-පන්ති නායකයා ඉවත් කලවිට මුළු ගණන=9

                         එමනිසා ඉතිරි 9යෙන් 4 බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන= 9C4=  9!/(5!x4!)=126

            II ක්‍රමය-මුළු ආකාර=210

                        පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් වන ආකාර=84

                        එමනිසා පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් නොවන පරිදි සෑදිය හැකි කාණ්ඩ ගණන=210-84=126

 

 

වෙනස් වතු n ගණනකින් r බැගින්ද, N ගණනකින් R බැගින්ද ගෙන එකවර සැකසිය හැකි සංයෝජන ගණන.

n ගණනකින් r බැගින් ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන - nCද,

N ගණනකින් R බැගින් ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන - NCද වේ.

තවද ගණන් කිරීමේ මුලධර්මයට අනුව,

            කාණ්ඩ දෙකෙන් එකවර ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන= nCr x NCවේ.

 

1.ගැහැණු 5ක් හා  පිරිමි 4ක් අතුරින් අතුරින් 4 දෙනෙකුගෙන් යුත් කමිටුවක් සෑදිය යුතුව ඇත.

(i).කිසිදු විශේෂයකින් තොරව කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

මුළු ගණන -9

ඉන් 4 බැගින් ගෙන කළහැකි ආකාර- 9C4 =  9!/(5!x4!)=126

(ii).ගැහැණු දෙදෙනෙක් හා පිරිමි දෙදෙනෙක් ඇතුලත් වන පරිදි  කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

ගැහැණු පස් දෙනා ගෙන් දෙදෙනෙක් තේරිය හැකි ආකාර = 5C2 = 5!/(3!x2!)

පිරිමි සිව්දෙනාගෙන් දෙදෙනෙක් තේරිය හැකි ආකාර=  4C2 = 4!/(2!x2!)

(iii).අඩුම තරමේ එක පිරිමියෙක් වත් අදාළ කණ්ඩායමට ඇතුලත් වන පරිදි තේරිය හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න

1 ක්‍රමය -

පිරිමි එක අයෙක් හා ගැහැණු 3දෙනෙක් සිටින ලෙස කාණ්ඩ කළ හැකි ආකාර    =   4C1 x  5C3  

 පිරිමි 2ක් හා ගැහැණු 2ක් සිටින ලෙස කාණ්ඩ කල හැකි ආකාර                  =  4C2  x  5 C2  

පිරිමි 3ක් හා ගැහැණු 1ක් සිටින ලෙස කාණ්ඩ කල හැකි ආකාර                   =  4C3 x  5 C1

පිරිමි 4ක් පමණක් බැගින් කල හැකි කාණ්ඩ ගණන                                 =  4C4  

එම නිසා එක පිරිමියෙක්වත් ඇතුලත් වන සේ කල හැකි කාණ්ඩ ගණන            = 121

 

2වන ක්‍රමය

මුළු ආකාර ගණන          =  9C4  = 126

ගැහැණුන්ම 5ක් සිටින ආකාර ගණන =  5C4  = 5

එම නිසා පිරිමි 1වත් අදාල කණ්ඩායමේ සිටින  ආකාර ගණන = 126 – 5 = 121

 

2.පිරිමි 10ක් හා ගැහැණු 8ක් ඇති සංචිතයක

(i) 5 බැගින් කමිටු කියක් සෑදිය හැකිද?

මුළු ගණන-18

ඉන් 5ක් ගෙන සෑදිය හැකි කමිටු ගණන=18C5

(ii).පිරිමි 3ක් හා ගැහැණු තුනක් වන පරිදි කමිටු කියක් සෑදිය හැකිද?

පිරිමි 10න් 3ක් තේරිය හැකි ආකාර =10C3

ගැහැණු 8න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර=8C2

එමනිසා මුළු ආකාර ගණන=10C3x8C2

(iii).කමිටුවේ පිරිමියෙක් හා ගැහැනියක් අතර ආරවුලක් නිසා ඔවුන් දෙදෙනා එකට නොසිටින සේ  පිරිමි 3ක් හා ගැහැණු තුනක් වන පරිදි කමිටු කියක් සෑදිය හැකිද?

අදාළ පිරිමියා කමිටුවට ඇතුල් කල පසු ඉතිරි 9න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර=9C2

අදාළ ගැහැණිය කමිටුවට ඇතුල් කල පසු ඉතිරි 7න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර=7C2

අදාළ පිරිමියා හා අදාළ ගැහැණිය කමිටුවේ ඇතුලත් වන පරිදි කල හැකි මුළු කාණ්ඩ ගණන=9C2x7C2 වේ

මුළු ගණන=18C5

එමනිසා එම ගැහැණිය හා පිරිමියා එකට නොසිටින සේ කාණ්ඩ කල හැකි මුළු ආකාර ගණන=18C5-(9C2x7C2)=3108

සැ.යු-සමහර ගැටළු වල අවසන් පිළිතුර අත්වැරදීම් වලින් වෙනස් විය හැකි නමුදු(තාක්ෂණික හේතු මත), ගැටලුව විසදන අකාරය හෝ පියවර වැල කිසිදු දෝෂයක් නැති බව කරුණාවෙන් සලකන්න. තවද එවැන්නක් ඇත්නම් කරුණාකර පෙන්වාදෙන මෙන්ද ඉල්ලා සිටිමි.

මේ පාඩමට අදාලව තවත් විසදු ගැටළු මීලග ලිපියෙන් බලාපොරොත්තු වන්න.


ලිපිය නිර්මාණය කලේ,
සකුණ මධුශංඛ


MEMBER

අදාල තවත් ලිපි,



සකුණ මධුශංඛ

උසස්පෙළ සංයුක්ත ගණිතය

අනෙකුත් ලිපි