සංකරණ සහ සංයෝජන-2

සංයෝජන(තේරීම්)

යම් ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණයකින් සියල්ලම හෝ ඉන් කිහිපයක් ගෙන සදනු ලබන සමුහ වලට සංයෝජන යැයි කියනු ලැබේ.

සැ.යු - මෙම සමුහ වලට පටිපාටිය බලනොපායි.

උදා:-a,b, හා c අතුරින් දෙක බැගින් කල හැකි සංයෝජන ආකාර සලකමු

            a,b|b,c|c,a

ප්‍රමේයය

වෙනස් ද්‍රව්‍ය n ගණනකින් r බැගින් ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන ⁿC_r  වේ.

1.පන්තියක ළමුන් 8දෙනෙක් සිටියි.ඉන් තුන බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන කොපමණද?

            මුළු ළමුන් ගණන=8

            එමනිසා ඉන් 3 බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන= ⁸C₃₌  8!/(5!x3!)

පන්තියක ළමුන් 10ක් සිටියි.මොවුන් අතුරින් 4 බැගින් යුත් කණ්ඩායමක් සාදාගත යුතුය.

(i).කිසිදු විශේෂයක් නැතිව කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

            මුළු ළමුන් ගණන=10

            එමනිසා ඉන් 4 බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන= ¹⁰C₄₌  10!/(6!x4!)=210

 (ii)පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් වන පරිදි කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

            පන්ති නායකයා මුලින් ඇතුලත් කලවිට මුළු ළමුන් ගණන=9

            එවිට අදාළ කණ්ඩායමට ඉතිරි තිදෙනා තෝරාගත හැකි ආකාර= ⁹C₃₌  9!/(6!x3!)=84

(iii).පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් නොවන පරිදි කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

            I ක්‍රමය-පන්ති නායකයා ඉවත් කලවිට මුළු ගණන=9

                         එමනිසා ඉතිරි 9යෙන් 4 බැගින් ගෙන කල හැකි කාණ්ඩ ගණන= ⁹C₄₌  9!/(5!x4!)=126

            II ක්‍රමය-මුළු ආකාර=210

                        පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් වන ආකාර=84

                        එමනිසා පන්ති නායකයා සැමවිටම ඇතුලත් නොවන පරිදි සෑදිය හැකි කාණ්ඩ ගණන=210-84=126

වෙනස් වතු n ගණනකින් r බැගින්ද, N ගණනකින් R බැගින්ද ගෙන එකවර සැකසිය හැකි සංයෝජන ගණන.

n ගණනකින් r බැගින් ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන - ⁿC_r  ද,

N ගණනකින් R බැගින් ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන - ^NC_R  ද වේ.

තවද ගණන් කිරීමේ මුලධර්මයට අනුව,

            කාණ්ඩ දෙකෙන් එකවර ගෙන කල හැකි සංයෝජන ගණන= ⁿC_r x ^NC_R  වේ.

1.ගැහැණු 5ක් හා  පිරිමි 4ක් අතුරින් අතුරින් 4 දෙනෙකුගෙන් යුත් කමිටුවක් සෑදිය යුතුව ඇත.

(i).කිසිදු විශේෂයකින් තොරව කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

මුළු ගණන -9

ඉන් 4 බැගින් ගෙන කළහැකි ආකාර- ⁹C₄ =  9!/(5!x4!)=126

(ii).ගැහැණු දෙදෙනෙක් හා පිරිමි දෙදෙනෙක් ඇතුලත් වන පරිදි  කල හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න.

ගැහැණු පස් දෙනා ගෙන් දෙදෙනෙක් තේරිය හැකි ආකාර = ⁵C₂ = 5!/(3!x2!)

පිරිමි සිව්දෙනාගෙන් දෙදෙනෙක් තේරිය හැකි ආකාර=  ⁴C₂ = 4!/(2!x2!)

(iii).අඩුම තරමේ එක පිරිමියෙක් වත් අදාළ කණ්ඩායමට ඇතුලත් වන පරිදි තේරිය හැකි කාණ්ඩ ගණන සොයන්න

1 ක්‍රමය -

පිරිමි එක අයෙක් හා ගැහැණු 3දෙනෙක් සිටින ලෙස කාණ්ඩ කළ හැකි ආකාර    =   ⁴C₁ x  ⁵C₃  

 පිරිමි 2ක් හා ගැහැණු 2ක් සිටින ලෙස කාණ්ඩ කල හැකි ආකාර                  =  ⁴C₂  x  ⁵ C₂  

පිරිමි 3ක් හා ගැහැණු 1ක් සිටින ලෙස කාණ්ඩ කල හැකි ආකාර                   =  ⁴C₃ x  ⁵ C₁

පිරිමි 4ක් පමණක් බැගින් කල හැකි කාණ්ඩ ගණන                                 =  ⁴C₄  

එම නිසා එක පිරිමියෙක්වත් ඇතුලත් වන සේ කල හැකි කාණ්ඩ ගණන            = 121

2වන ක්‍රමය

මුළු ආකාර ගණන          =  ⁹C₄  = 126

ගැහැණුන්ම 5ක් සිටින ආකාර ගණන =  ⁵C₄  = 5

එම නිසා පිරිමි 1වත් අදාල කණ්ඩායමේ සිටින  ආකාර ගණන = 126 – 5 = 121

2.පිරිමි 10ක් හා ගැහැණු 8ක් ඇති සංචිතයක

(i) 5 බැගින් කමිටු කියක් සෑදිය හැකිද?

මුළු ගණන-18

ඉන් 5ක් ගෙන සෑදිය හැකි කමිටු ගණන=¹⁸C₅

(ii).පිරිමි 3ක් හා ගැහැණු තුනක් වන පරිදි කමිටු කියක් සෑදිය හැකිද?

පිරිමි 10න් 3ක් තේරිය හැකි ආකාර =¹⁰C₃

ගැහැණු 8න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර=⁸C₂

එමනිසා මුළු ආකාර ගණන=¹⁰C₃x⁸C₂

(iii).කමිටුවේ පිරිමියෙක් හා ගැහැනියක් අතර ආරවුලක් නිසා ඔවුන් දෙදෙනා එකට නොසිටින සේ  පිරිමි 3ක් හා ගැහැණු තුනක් වන පරිදි කමිටු කියක් සෑදිය හැකිද?

අදාළ පිරිමියා කමිටුවට ඇතුල් කල පසු ඉතිරි 9න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර=⁹C₂

අදාළ ගැහැණිය කමිටුවට ඇතුල් කල පසු ඉතිරි 7න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර=⁷C₂

අදාළ පිරිමියා හා අදාළ ගැහැණිය කමිටුවේ ඇතුලත් වන පරිදි කල හැකි මුළු කාණ්ඩ ගණන=⁹C₂x⁷C₂ වේ

මුළු ගණන=¹⁸C₅

එමනිසා එම ගැහැණිය හා පිරිමියා එකට නොසිටින සේ කාණ්ඩ කල හැකි මුළු ආකාර ගණන=¹⁸C₅-(⁹C₂x⁷C₂)=3108

සැ.යු-සමහර ගැටළු වල අවසන් පිළිතුර අත්වැරදීම් වලින් වෙනස් විය හැකි නමුදු(තාක්ෂණික හේතු මත), ගැටලුව විසදන අකාරය හෝ පියවර වැල කිසිදු දෝෂයක් නැති බව කරුණාවෙන් සලකන්න. තවද එවැන්නක් ඇත්නම් කරුණාකර පෙන්වාදෙන මෙන්ද ඉල්ලා සිටිමි.

මේ පාඩමට අදාලව තවත් විසදු ගැටළු මීලග ලිපියෙන් බලාපොරොත්තු වන්න.