සංකරණ හා සංයෝජන 3(අවසන් කොටස)

සංකරණ හා සංයෝජන 2 ලිපියේ අවසන් කොටස හා අනුබද්දිතයි.

 1.ක්‍රිකට් සංචිතයක ක්රීදකයං 15ක් ඇත.ඔවුන්ගෙන් 7ක් පිතිකරුවන්ද, 6ක් පන්දු යවන්නන්ද, 2ක් කඩුලු රකින්නන්ද වේ. 11කින් යුත් කණ්ඩායමකට යටත් පිරිසෙන් පිතිකරුවන් 5ක්,පන්දු යවන්නන් 4ක් හා කඩුලු රකින්නන් එකක්වත් ඇතුලත් විය යුතුය.

 *යටත් පිරිසෙන් යනු අඩුම තරමින් යන්න  වේ.

(i).සංචිතයේ පිතිකරුවකුට හා කඩුලු රකින්නෙකුට තුවාල සිදුවී ඇත්නම් කණ්ඩායමට 11ක් තේරිය හැකි ආකාර?

එමනිසා,

පිතිකරුවන් 5ක්, පන්දු යවන්නන් 5ක් හා කඩුලු රකින්නන් 1ක් වන පරිදි තේරිය හැකි ආකාර- ⁶C₅ x⁶C₅ x¹C₁

පිතිකරුවන් 6ක්, පන්දු යවන්නන් 4ක් හා කඩුලු රකින්නන් 1ක් වන පරිදි තේරිය හැකි ආකාර- ⁶C₆ x⁶C₄ x¹C₁

එමනිසා මුළු ආකාර ගණන=⁶C₅ x⁶C₅ +⁶C₆ x⁶C₄ වේ_.

(ii).සංචිතයේ සියල්ලන්ගෙන්ම තේරිය හැකි ආකාර ගණන සොයන්න?

• හි පරිදි තේරිය හැකි ආකාර-⁷C₆x⁶C₅ x²C₁
• හි පරිදි තේරිය හැකි ආකාර-⁷C₅x⁶C₄ x²C₂
• හි පරිදි තේරිය හැකි ආකාර-⁷C₅x⁶C₅ x²C₁

එමනිසා මුළු කාණ්ඩ ගණන=⁷C₆x⁶C₅ x²C₁+⁷C₅x⁶C₄ x²C₂+⁷C₅x⁶C₅ x²C₁ වේ.

සමාන අවයව සහිතව කාණ්ඩ කිරීම

1.ක්‍රීඩකයන් 6න් 3ක් ගෙන කණ්ඩායම් කල හැකි ආකාර ගණන සොයන්න.

6න් තුනක් තේරිය හැකි ආකාර-⁶C₃

ඉතිරි 3න් 3නක් තේරිය හැකි ආකාර-³C₃

එමනිසා කාණ්ඩ ගණන=(⁶C₃x³C₃)/2! වේ

මෙහිදී අවයව සාමනව (3 බැගින් දෙකකට) කාණ්ඩ 2කකට වෙන් කරන නිසා 2! ක්‍රමාරෝපිතයෙන්බෙදනු ලැබේ.

2.ක්‍රීඩකයන් 6ක්2 බැගින් කන්ද කල හැකි ආකාර ගණන සොයන්න.

6න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර-⁶C₂

ඉතිරි 4න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර-⁴C₂

ඉතිරි 2න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර-²C₂

එමනිසා වෙනස් කාණ්ඩ ගණන=(⁶C₂x⁴C₂x²C₂)/3!

                2 බැගින් කාණ්ඩ තුනක් වෙන් කල නිසා 3!යෙන් බෙදන ලදී.

3.ක්‍රීඩකයන් 10ක් 3 බැගින් කණ්ඩායම් 2ක්ද,2 බැගින් 2ක්ද වන පරිදි කණ්ඩායම් 4කට බෙදිය හැකි ආකාර ගණන සොයන්න.

10න් 3ක් ගත හැකි ආකාර-¹⁰C₃

ඉතිරි 7න් 3ක් තේරිය හැකි ආකාර-⁷C₃

ඉතිරි 4න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර-⁴C₂

ඉතිරි 2න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර-²C₂

එමනිසා වෙනස් කාණ්ඩ ගණන=[(¹⁰C₃x⁷C₃)/2! x (⁴C₂x²C₂)/2!] හෝ,

10න් 2ක් ගත හැකි ආකාර-¹⁰C₂

ඉතිරි 8න් 2ක් තේරිය හැකි ආකාර-⁸C₂

ඉතිරි 6න් 3ක් තේරිය හැකි ආකාර-⁶C₃

ඉතිරි 3න් 3ක් තේරිය හැකි ආකාර-³C₃

එමනිසා වෙනස් කාණ්ඩ ගණන=[(¹⁰C₂x⁸C₂)/2! x (⁶C₃x³C₃)/2!]

කණ්ඩායම් වල තරම වෙනස් වන පරිදි කාණ්ඩ කිරීම

එකිනෙකට වෙනස් පොත් 4ක් ගොඩවල් දෙකකට බෙදිය හැකි ආකාර ගණන සොයමු

3 හා 1 බැගින්-⁴C₂ x¹C₁

2 හා 2 බැගින් -(⁴C₂x²C₂)/2!

එමනිසා මුළු ආකාර ගණන=[⁴C₂ x¹C₁ + (⁴C₂x²C₂)/2!]

වෙනස් පොත් 7කින් පාර්සල් 3ක් සෑදිය හැකි ආකාර ගණන සොයන්න(අවම වශයෙන් එක පොතක්වත් වන පරිදි)

5,1,1 බැගින් කල හැකි කාණ්ඩ ගණන-(⁷C₅x²C₁x¹C₁)/2!

4,2,1 බැගින් කල හැකි කාණ්ඩ ගණන-(⁷C₄x³C₂x¹C₁)

3,3,1 බැගින් කල හැකි කාණ්ඩ ගණන-(⁷C₃x⁴C₃x¹C₁)/2!

3,2,2 බැගින් කල හැකි කාණ්ඩ ගණන-(⁷C₃x⁴C₂x²C₂)/2!

එම නිසා මුළු ආකාර ගණන=[(⁷C₅x²C₁x¹C₁)/2!+ (⁷C₄x³C₂x¹C₁)+ (⁷C₃x⁴C₃x¹C₁)/2!+ (⁷C₃x⁴C₂x²C₂)/2!]

වෘත්තාකාර ලෙස පිළියෙල කරමු

A,B,C ලක්ෂ්‍ය තුනක් ස්ථාන මාරු කරමින් වෘත්තාකාරව පිළියෙල කරමු.

      1                              2                    3                          4                                                                                                               

     A                         B                           C                         A                                               

B                        C                            A                                    B                                       

          C                         A                          B                    C

ඉහත ආකාර වලට A,B,C වෘත්තාකාරව පිළියෙල කලේ යයි ගනිමු.මෙහි අංක එක අවස්තාව සමග දෙක හා තුන අවස්ථා සමානය. (සියල්ලටම වමෙන් හා දකුණෙන් ඇත්තේ එකම අක්ෂරය/ලක්ෂ්‍යය වේ.)නමුත් එක හා හතර පිහිටුම් එකිනෙකට වෙනස්ය.

එබැවින් එය කල හැකි ආකාර 2! වේ.

ප්‍රමේයය

එකිනෙකට වෙනස වස්තු n ගණනකින් පිළියෙල කල හැකි වෙනස් වස්තු ආකාර ගණන (n-1)! වේ. මෙහිදී වාමාවර්ථ,දක්ෂිනාවර්ත යන වග පැහැදිලිව සළකා ඇත.

1.සිසුන් 4ක් වෘත්තාකාර මේසයක වැඩි කරවිය හැකි ආකාර ගණන =(4-1)!=3! වේ.

2. සාදයකට පුද්ගලයන් දහයක් සහබාගී විය.

 (i).වෘත්තාකාර මේසයක වාදී කරවිය හැකි ආකාර ගණන කොපමණද?

            මුළු-10

            එමනිසා වෘත්තාකාර මේසයේ ඉන්දවිය හැකි ආකාර=(10-1)!=9! වේ

(ii).එම විශේෂ පුද්ගලන් දෙදෙනෙක් සැමවිටම එකට සිටින සේ වාඩි කරවිය හැකි ආකාර ගණන සොයන්න.

එම විශේෂ පුද්ගලයා තනි අයෙක් ලෙස ගත් විට මුළු ගණන=9

            එවිට ඔවුන් වෘත්තාකාර මේසයක ඉන්දවිය හැකි ආකාර =(9-1)!=8!

            නමුත්,එම සෑම අවස්තාවකදීම එම විශේෂිත දෙදෙනා අතුරුමාරු කළ හැකි ආකාර ගණන=2!

            එමනිසා මුළු ආකාර=8!x2!

***එකිනෙකට වෙනස් පබළු n ගණනකින් (වෘත්තාකාර) මාලයක් සාදා ඇතියි සිතමු.මෙම මාලයේ වාමාවර්ථ, දක්ෂිනාවර්ත වෙනසක් නොපවතී.මන්ද, යම් අවස්ථාවකදී 180’කින් අනෙක් පසට හැරවූ විට නැවත මුලින් තිබු අකාරයටම ලැබේ.එබැවින්,මෙවැනි අවස්ථාවක වාමාවර්ථ , දක්ෂිණාවර්ත ලෙස සලකීමක් සිදු නොකරයි.එමනිසා වෘත්තාකාර පිළියෙල කිරීමකදී වාමාවර්ථ , දක්ෂිණාවර්ත අත නොසලකන විට කල හැකි වෙනස් පිළියෙල කිරීම් ගණන =[n-1]!/2 වේ.

2013

සිසුන් 15ක ශිෂ්‍ය සභාවක් විද්‍යා 3ක්,කලා 5ක් හා වාණිජ 7කින් සමන්විතය. වෘත්තයක වාඩි කරවීමට  මෙම ශිෂ්‍ය සභාවෙන් 6 ක් තේරීමට අවශ්‍යව ඇත.

(i). සිසුන් 15න්ම තෝරාගැනීමට අවශ්‍ය නම්?

මෙම 15න් ඕනෑම 6ක් තේරීය හැකි ආකාර-¹⁵C₆

(ii)කිසියම් සිසුන් දෙදෙනෙකුට එක ලග වාදී මීමට අවසර නැතිනම් ,

විශේෂ සිසුන් දෙදෙනා තෝරාගත් විට මුලුගණන-13

එම 13න් 4ක් තේරිය හැකි ආකාර-¹³C₄

එම නිසා ඔවුන් එකට නොසිටින ආකාර ගණන=මුළු ආකාර ගණන-ඔවුන් එකට සිටින ආකාර ගණන

                                                                 =¹⁵C₆-¹³C₄

(iii).එක එක විෂය ධාරාවෙන් සිසුන් දෙදෙනෙක් තෝරාගත යුතුනම්.

විද්‍යා 3න් 2ක්-³C₂

කලා 5න් 2ක්-⁵C₂

වාණිජ 7න් 2ක්-⁷C₂

එමනිසා මුළු ආකාර=³C₂x⁵C₂x⁷C₂