සම්භාවිතාව 3

සම්භාවිතාවයේ ගණිතමය අර්ථ දැක්වීම ( ප්‍රත්‍යක්ෂ අර්ථ දැක්වීම )

යම් සසම්හාවී පරීක්ෂණයක් සමග සංඝටිත නියැදි අවකාශයකට අනුරුප වන සිද්ධි ප්‍රමාණය ƺ ද , ƺ තුල එක සිද්ධියක් වන A සිදුවීමට ,

1. p(A)≥, AԐƺ ද,
2. p(Ω)=1
3. A හා B යනු ƺ තුල අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කර සිද්ධි දෙකක්ද නම් P(AUB)=P(A)+P(B) යන ප්‍රත්‍යක්ෂය තෘප්ත කරන පරිදි P(A) ට දිය හැකි අගය A සිද්ධිය සිදුවීම් සම්භාවිතාව ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

සිද්ධියක් යනු නියැදි අවකාශයේ ඕනෑම උපකුලකයක් බැවින් කුලකවාදයේ එන සියලු ගණිතකර්ම හා න්‍යායන් මෙමගින්ද තෘප්ත කරයි.

ඕනෑම උපකුලක සම්බන්දයක ( සර්වසාම්‍යක ) දෙපසට සම්භාවිතාව යෙදිය හැකිය.

ඕනෑම සම්භාවිතාවයක් සැලකීමේදී ඉතා අර්ථ දැක්වීමේ ඇති සියලු කරුණු අන්තර්ගතව තිබිය යුතුමය.

සම්භාවිතවයේ මුලික ප්‍රමේයන්.

1.P(ɸ) = 0

2.P(A)=1-P(A)

3.A C̲  B විට P(A)≤P(B)

4.P(A’∩B) = P(B-A) = P(B)-P(A∩B)

5.P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

ඉහත ප්‍රමේයයන් සාදනය කරනවිට අවශ්‍ය ප්‍රතිපල අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර සිද්ධි දෙකක මේලයක් ලෙස සලකා බහිෂ්කර සිද්ධි සදහා වූ ප්‍රත්‍යක්ෂය යොදාගනී.

තවද යම් සිද්ධි කිහිපයක සම්බන්ධතාව ලබාදී තවත් සිද්ධි කිහිපයක සම්භාවිතාව සමින් සලකා බැලේ.

අසම්භාව්‍ය සම්භාවිතාවය

කිසියම් සිද්ධියක් සිදුවීමෙන් පසු තවත් සිදුවීමක් සිදුවීමට ඇති හැකියාව සලකා බැලේ.

උදා:- දිවාරාත්‍රි ක්‍රිකට් තරගයකදී කාසියේ වාසිය දිනාගත් පසු එම කණ්ඩායම තරගය දිනීමේ සම්භාවිතාවය, ඊට පෙර තිබු තරගය සම්බාවිතාවට වඩා වෙනස් අගයක් ගත හැකිය. මෙය අසම්භාවී සම්භාවිතාවට උදාහරණයකි

A සිද්ධිය සිදුව ඇතැයි දී ඇති විට B සිදුවීම යන්න පහත ලෙස අංකනය කරයි (

A සිදුවූ පසු B සිදුවීම (B/A) ද,

A සිදුවූ පසු B සිදුවීමේ සම්භාවිතාවය p(B/A) ලෙසද අංකනය කරනු ලබයි.

අර්ථ දැක්වීම.

A හා B යනු සිද්ධි අවකාශයක් තුල ඕනෑම සිද්ධි දෙකක් නම් ද, P(A)˃0 නම් ද,

A සිදුවූ පසු B සිදුවීමේ අසම්භාව්‍යය සම්භාවිතාවය p(B/A) = [p(A∩B)]/p(A) ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

P(A) ශුන්‍ය නොවන අතර P(A)=0 සදහා අර්ථ දැකිවීමක් සිදු නොකෙරේ.

p(A∩B) = p(A). p(B/A)

p(B/A) අර්ථ දැක්වීමේදී Ω නියැදි අවකාශය A සිද්ධිය බවට කුඩා වී ඇති අතර B සිදුවන්නේ ඉන් පසුව වේ.

රුක් සටහනක දෙවන අදියරෙන් අසම්භාවී සම්භාවිතාව දක්වන බව තේරුම් ගත යුතුය.

ගුණන නිතිය

ඕනෑම සිද්ධි දෙකක චේදනයේ සම්භාවිතාව පළමු සිද්ධියේ දෙවැන්නේ අසම්භාව්‍ය සම්භාවිතවයේ ගුණිතය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැකිය.

p(A∩B) = P(A). p(B/A)

p(A∩B) = p(B). p(A/B)

එක්තරා පාසලක සාමාන්‍ය පෙළ සදහා සිසුන් 100ක් සහභාගී වෙති. 54ක් ගණිතයද 43ක් විද්‍යාවද, 26ක් විෂය දෙකමද සමත් විය. ඔවුන් අතුරින් සිසුවෙක් සසම්භාවිව තෝරාගතහොත් ඔහු ගණිතය සමත් වුවෙකු වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

• සරල තර්කය

54ක් ගණිතය සමත් නිසාත්, 26ක් විශය දෙකම සමත් නිසාත් ගණිතය පමණක් සමත් හා විද්‍යාව පමණක් සමත් පිලිවෙලින් 28 හා 17 වේ. තවද විෂය දෙකම අසමත් ගණන 29 කි.අවශ්‍ය නම් වෙන් රුපයක සටහන් කරගන්න.

තෝරාගත් සිසුවා සමත් අයෙක් බව ( එනම් ඉහත සදහන් 54 න් අයෙක් ) දන්නා නිසා විද්‍යාව සමත්වීමේ සම්භාවිතාවය 26/54 බව පැහැදිලිය.

• අර්ථ දැක්වීම් මගින්

P(A)=54/100 ; P(A∩B’) = 28/100

P(B)=43/100 ; P(B∩A’) = 17/100

P(A∩B) = 26/100

p(B/A) = [p(A∩B)]/p(A)

p(B/A) =[26/100]/[54/100] = 26/54

සම්භාවිතවයේ මෙම කොටසට අදාළ ගැටළු විසදීමේදී අසම්භාව්‍ය සම්බවිතාව පිළිබද ප්‍රමේයය යොදන විට එය නිවැරදිව නම් කොට (A,B,C...) නිවැරදිව හදුනාගෙන යෙදීම සිදු කල යුතුවේ