සංඛ්‍යානය 3
භරිත මධ්‍යන්‍ය
එක එක දත්ත වලට විවිධ වටිනාකම් පවතී නම් එවිට මධ්‍යන්‍ය සෙවීම වඩා යෝග්‍යය. x1 ,x2 ,x3,…xn යන දත්ත වලට w1 ,w2 ,w3,…wn යන භාර තබා ඇත්නම් එවිට භරිත මධ්‍යන්‍ය (x̅ ) නම්,
(x̅ )= (x1w1+x2w2+…+xnwn)/( w1+w2+w3+…+wn) ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
එනම් (x̅ )= (ξnn=1xi wi)/ (ξnn=1wi ) ලෙස ලිවිය හැකිය.
උදා- ගණිත ගුරුවරයෙකු තෝරා ගැනීමේ පරීක්ෂණයකට A,B,C තිදෙනෙකු ඉදිරිපත් වෙති. ඔවුන්ට සිංහල, ගණිතය හා සාමාන්‍ය දැනීම සදහා වන ප්‍රශ්නපත්‍ර 3ක් ලබාදී තිබුණි. ඒ සදහා ලබාගත් ලකුණු පහත වගුවේ දක්වා ඇත.
|
අපේක්ෂකයා |
ගණිතය |
සිංහල |
සාමාන්‍ය දැනීම |
|
A |
55 |
70 |
90 |
|
B |
80 |
60 |
50 |
|
C |
75 |
50 |
80 |
එම විෂයන් සදහා පහත වගුවේ පරිදි භාර තබා ඇත.
|
විෂය |
භාරය |
|
ගණිතය |
5 |
|
සිංහල |
3 |
|
සාමාන්‍ය දැනීම |
2 |
ගුරුවරයෙකු ලෙස තෝරාගැනීමට වඩාත් සුදුසු තැනැත්තා තෝරන්න.
1.මෙහි සාමාන්‍ය මධ්‍යනය සලකමු.
(x̅ )A=(55+70+90)/3=71.67
(x̅ )B =(80+60+50)/3=63.33
(x̅ )c =(75+50+80)/3=68.33
සාමාන්‍ය මධ්‍යනය සළකා බැලීම අනුව වඩා සුදුස්සා A ය. නමුත්ඉහත තිදෙනාගෙන් A ලබාගෙන ඇත්තේ අඩුම ලකුණුය. එමනිසා මෙවැනි අවස්ථාවල භරිත මධ්‍යන්‍ය සෙවීම වඩා සුදුසු ක්‍රමයයි. අදාල එක එක පුද්ගලයාගේ භරිත මධ්‍යන්‍ය පිලිවෙලින් (x̅ )’A, (x̅ )’B, (x̅ )’c යැයි ගනිමු. එවිට,
(x̅ )’A= (55x5+70x3+90x2)/10=66.5
(x̅ )’B=(80x5+60x3+50x2)/10=68
(x̅ )’c=(75x5+50x3+80x2)/10=68.5
එමනිසා වඩාත් සුදුස්සා C වන බව පැහැදිලි වේ.
සංඛ්‍යාත ඇසුරෙන් දී ඇති විට මධ්‍යන්‍ය සෙවීම.
x1 ,x2 ,x3,…xn යන දත්තයන් පිලිවෙලින් f1 ,f2 ,f3,…fn යන ප්‍රමාණයෙන් යෙදී ඇතිවිට මධ්‍යන්‍ය (x̅ ) පහත ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
(x̅ )= (x1f1+x2f2+…+xnfn)/( f1+f2+…+fn)
එනම් (x̅ )= (ξnn=1xi fi)/ (ξnn=1fi )
උදා-එක්තරා කාල සීමාවක් සිසුන් 42ක් පාසලට නොපැමිණි දින ගණන පහත පරිදි වේ.එහි මධ්‍යන්‍ය සොයමු.
|
නොපැමිණි දින ගණන |
සිසුන් |
|
0 |
5 |
|
1 |
9 |
|
2 |
12 |
|
3 |
10 |
|
4 |
6 |
මධ්‍යන්‍ය (x̅ ) නම් ,
(x̅ )=(ξnn=1xi fi)/ (ξnn=1fi )
(x̅ )=(0+9+24+30+24)/42
(x̅ )=87/42=2.071
නමුත් දින ගණනක් බැවින් ආසන්නව මධ්‍යන්‍යය දින දෙකක් ලෙස ගත හැකිය.
අපගමනය
එක් එක් දත්තය (xi) හා මධ්‍යන්‍ය (x̅ ) අතර වූ වෙනස [(xi)-(x̅ )]යන්න අපගමනය ලෙස හැදින්වේ.
[(xi)-(x̅ )]>0 නම් ධාන අපගමන ලෙසත් [(xi)-(x̅ )]
{ξii=1 [(xi)-(x̅ )]} = 0 වේ. එනම් අපගමන වල එකතුව ශුන්‍ය වේ.
එනම් ඕනෑම පන්තියක මධ්‍යන්‍ය වටා එහි අපගමන වල එකතුව ශුන්‍ය වේ.
මෙය වැදගත් වනුයේ ඉදිරි අර්ථ දැක්වීමකට වේ.
මධ්‍යස්ථය
අසමුහිත දත්ත සදහා මධ්‍යස්ථය සෙවීම (දත්ත වැලකින් ඇතිවිට)
යම් දත්ත සමුහයක් ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ පිළිවෙලට සැකසු විට හරි මැද පිහිටන අගය මධ්‍යස්ථය නම් වේ. දත්ත n ගණනක් ඇතිවිට මධ්‍යස්ථය
(i). n ඔත්තේ නම් (n+1)/2 වැනි දත්තයද,
(ii). n ඉරට්ටේ නම් n/2 හා n/2+1 වන දත්ත වල මධ්‍යන්‍යය ද වේ.
උදා- 2,3,4,6,7,8,12 යන සංඛ්‍යා වල මධ්‍යස්ථය යනු (7+1)/2=4 වැනි දත්තයයි. එනම් මධ්‍යස්ථය 6 වේ.
උදා-9,10,11,15,17,21,25,33 යන සංඛ්‍යා වල මධ්‍යස්ථය n/2 හා n/2+1 වන දත්ත වල මධ්‍යන්‍යය වේ.
එනම් 8/2=4 හා 8/2+1=5 වැනි දත්ත වල මධ්‍යන්‍යය වේ.
එනම් මධ්‍යස්ථය (15+17)/2=16 වේ.
සංඛ්‍යාත ඇසුරෙන් දී ඇති විට මධ්‍යස්ථය සෙවීම.
මෙය සමුච්චිත සංඛ්‍යාත (වඩා අඩු) භාවිතයෙන් සෙවිය හැකිය. මෙය උදාහරණයක් ඇසුරෙන් සළකා බලමු.
උදා-
|
ලකුණු |
සිසුන් |
සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය(වඩා අඩු) |
|
0 |
2 |
2 |
|
1 |
3 |
5 |
|
2 |
6 |
11 |
|
3 |
10 |
21 |
|
4 |
4 |
25 |
|
5 |
1 |
26 |
දත්ත ගණන ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවකි. මධ්‍යස්ථය යනු 26/2=13 වන දත්තය හා 13+1=14 වන දත්තවල මධ්‍යන්‍යයි.
එනම් මධ්‍යස්ථය = (3+3)/2=3.
මාතය
අසමුහිත දත්ත සදහා (දත්ත වැලකින් ඇති විට)
යම් නිරීක්ෂණ කුලකයක වැඩිපුරම යෙදී ඇති නිරීක්ෂණය මාතය ලෙස වේ.
සෑම නිරික්ෂනයකම එක සමාන වාර ගණනක් යෙදී ඇති විට මාතය අර්ථ දැක්විය නොහැක. වැඩිම වර ගණනක් වෙදෙන අවයව කිහිපයක් ඇතිවිට අනන්‍ය නොවේ.
සංඛ්‍යාත ඇසුරෙන් දී ඇතිවිට මාතය
මෙහිදී වැඩිම සංඛ්‍යාතය ඇති දත්තය මාතය නම් වේ.
උදා-ඉහත වගුවේ මාතය ලකුණු 3 වේ.
සමුහිත දත්ත සදහා කේන්ද්‍රික ප්‍රවණතා මිනුම් මීලග කොටසින්....
