සංඛ්‍යානය 4
සමුහිත දත්ත සදහා කේන්ද්‍රික ප්‍රවණතා මිනුම්
මධ්‍යන්‍ය
මෙහිදී නිරීක්ෂණ දෙනු ලබන්නේ පන්ති ප්‍රාන්තර ලෙසිනි.
ප්‍රාන්තර තුල දත්ත ඒකාකාරව පිහිටා ඇතයිද,
ප්‍රන්තරයේ මධ්‍ය අගය ප්‍රාන්තරය තුල ඕනෑම අගයක නිරීක්ෂණය ලෙසද,
ප්‍රධාන උපකල්පන 2ක් මෙහිදී ගනු ලබයි.
මෙහිදී මධ්‍යන්‍ය සෙවීමේ ක්‍රම දෙකකි.
1.සාමාන්‍ය ක්‍රමය-සංඛ්‍යාත වගුවක් ලෙස ගෙන.
2.කේතන ක්‍රමයක් යෙදීමෙන්
උදා- පොල් ගස් 30කින් කඩන ලද ගෙඩි ප්‍රමාණය පිළිබද සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තියක් පහත දී ඇත. එහි මධ්‍යන්‍ය සොයන්න.
|
පොල් ගෙඩි ගණන |
11-15 |
15-19 |
19-23 |
23-27 |
27-31 |
31-35 |
35-39 |
|
ගස් ගණන |
2 |
3 |
5 |
7 |
5 |
4 |
4 |
පන්ති ප්‍රාන්තර වෙනුවට ඒවායේ මාධ්‍ය අගය සලකු. එවිට එම ව්‍යාප්තිය මුලින් ලැබෙන ආකාරයට (අසමුහිත දත්ත) ලැබේ.
I ක්‍රමය. (සාමාන්‍ය අකාරය)
|
පන්ති ප්‍රාන්තරය |
මධ්‍ය අගය |
සංඛ්‍යාතය |
xifi |
|
11-15 |
13 |
2 |
26 |
|
15-19 |
17 |
3 |
51 |
|
19-23 |
21 |
5 |
105 |
|
23-27 |
25 |
7 |
175 |
|
27-31 |
29 |
5 |
145 |
|
31-35 |
33 |
4 |
142 |
|
35-39 |
37 |
4 |
148 |
|
|
(ξnn=1fi )=30 |
(ξnn=1xi fi)=782 |
|
අර්ථ දැක්වීමට අනුව (x̅ )=(ξnn=1xi fi)/ (ξnn=1fi ) වේ.
එමනිසා (x̅)=782/30=26.02
II ක්‍රමය (කේතන ක්‍රමයක් භාවිතය)
මෙහිදී දී ඇති විචල්‍ය සරල විචල්‍යක් බවට පත්කර මධ්‍යන්‍ය සොයනු ලබයි. මෙහිදී නව විචල්‍ය ui පහත ලෙස අර්ථ දක්වමු.
ui= (xi-a)/c
xi = පන්ති ලකුණ (මධ්‍ය අගය)
a-xi දත්ත වල වූ ඕනෑම අගයක් (මෙයට බොහෝවිට එම දත්ත වැල මද පිහිටන අගයක් ගනී)
c-පන්ති පළල (නියත)
*මෙම ක්‍රමය යෙදීමට නම් පන්ති පළල සැමවිටම සමාන විය යුතුය.
මෙම කේතනයට අදාලව මධ්‍යන්‍ය අතර ඇති සම්බන්ධය ලබා ගනිමු.
(u̅ )= (ξnn=1ui fi)/ (ξnn=1fi )
නමුත් ui= (xi-a)/c
එමනිසා (u̅ )= [(ξnn=1{(xi-a)/c} fi)]/ (ξnn=1fi )
(u̅ )= (ξnn=1ui fi)/ (ξnn=1fi ).c (c-නියතයකි)
එමනිසා c(u̅ )= [(ξnn=1{(xi-a)}fi)]/ (ξnn=1fi )
එමනිසා c(u̅ )= (ξnn=1xi fi)/ (ξnn=1fi ) – a. (ξnn=1fi )/ (ξnn=1fi )
එමනිසා c(u̅ )= (x̅) – a
එමනිසා (x̅)= c(u̅ )+a
ඉහත උදාහරණය කේතනය මගින් සළකා බලමු.
a-පන්ති පළල=4
c=25 ලෙස ගනිමු
එවිට ui= (xi-25)/4 වන කේතනය යොදමු.
|
පන්ති ප්‍රාන්තරය |
මධ්‍ය අගය |
සංඛ්‍යාතය |
කේතනය ui= (xi-25)/4 |
uifi |
|
|
11-15 |
13 |
2 |
-3 |
-6 |
|
|
15-19 |
17 |
3 |
-2 |
-6 |
|
|
19-23 |
21 |
5 |
-1 |
-5 |
|
|
23-27 |
25 = c |
7 |
0 |
0 |
|
|
27-31 |
29 |
5 |
1 |
5 |
|
|
31-35 |
33 |
4 |
2 |
8 |
|
|
35-39 |
37 |
4 |
3 |
12 |
|
|
|
(ξnn=1fi )=30 |
|
(ξnn=1ui fi)=8 |
||
අර්ථ දැක්වීමට අනුව (u̅ )= (ξnn=1ui fi)/ (ξnn=1fi )
(u̅ )=8/30
ui= (xi-25)/4 නිසා (u̅ )=[(x̅) – a]/c අනුව උපකල්පිත මධ්‍යන්‍ය (u̅ )=[(x̅) – 25]/4
එමනිසා සැබෑ මධ්‍යන්‍ය = (x̅) = (8/30)x4+25 = 26.07
සේවකයන් 160ක් එක්තරා දිනක දහවල් ආහාර වෙනුවෙන් වියදම් කල මුදල් ප්‍රමාණය පහත දැක්වේ.
|
මුදල් |
50-54 |
55-59 |
60-64 |
65-69 |
70-74 |
75-79 |
80-84 |
85-89 |
90-94 |
95-99 |
|
සේවකයන් ගණන. |
4 |
6 |
14 |
18 |
25 |
33 |
22 |
21 |
10 |
7 |
මෙම ව්‍යාප්තියේ මධ්‍යන්‍ය සොයන්න.
|
මුදල්(පන්ති ප්‍රාන්තර) |
මාධ්‍ය අගය xi |
කේතනය ui= (xi-77)/5 |
සංඛ්‍යාතය fi |
uifi |
|
49.5-54.5 |
52 |
-5 |
4 |
-20 |
|
54.5-59.5 |
57 |
-4 |
6 |
-24 |
|
59.5-64.5 |
62 |
-3 |
14 |
-42 |
|
64.5-69.5 |
67 |
-2 |
18 |
-36 |
|
69.5-74.5 |
72 |
-1 |
25 |
-25 |
|
74.5-79.5 |
77 =c |
0 |
33 |
0 |
|
79.5-84.5 |
82 |
1 |
22 |
22 |
|
84.5-89.5 |
87 |
2 |
21 |
42 |
|
89.5-94.5 |
92 |
3 |
10 |
30 |
|
94.5-99.5 |
97 |
4 |
7 |
28 |
|
|
(ξnn=1fi )=160 |
(ξnn=1ui fi)= -25 |
||
පන්ති පළල a = 5
c=77 යයි ගනීමු
එවිට කේතනය ui= (xi-77)/5 වේ, එවිට මධ්‍යන්‍ය අතර සම්බන්ධය (x̅)=5(u̅)+77
අර්ථ දැක්වීමට අනුව උපකල්පිත මධ්‍යන්‍ය (u̅ )= (ξnn=1ui fi)/ (ξnn=1fi )
එනම් (u̅ )= -25/160
එමනිසා සැබෑ මධ්‍යන්‍ය (x̅)=5x(-25/160) +77
(x̅)= -0.781+77
එනම් ව්‍යාප්තියේ සැබෑ මධ්‍යන්‍ය (x̅)=76.219
මධ්‍යස්ථය
ඉහත සේවකයන් 160 පිළිබද ව්‍යාප්තියේ මධ්‍යස්ථය සොයමු.
|
මුදල්(පන්ති ප්‍රාන්තර) |
සංඛ්‍යාතය fi |
සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය Fr |
|
49.5-54.5 |
4 |
4 |
|
54.5-59.5 |
6 |
10 |
|
59.5-64.5 |
14 |
24 |
|
64.5-69.5 |
18 |
42 |
|
69.5-74.5 |
25 |
67 |
|
74.5-79.5 |
33 |
100 |
|
79.5-84.5 |
22 |
122 |
|
84.5-89.5 |
21 |
143 |
|
89.5-94.5 |
10 |
153 |
|
94.5-99.5 |
7 |
163 |
මෙහි මධ්‍යස්ථය යනු 160/2 = 80 වැනි පුද්ගලයා වියදම් කල මුදල් ප්‍රමාණයයි. ඔහු අයත් වන්නේ 74.5-79.5 ප්‍රන්තරයටයි. මෙය මධ්‍යස්ථය අඩංගු ප්‍රන්තරයයි. 80 වැනි සේවකයාගේ 80 වැනි සේවකයාගේ පිහිටීමට අදාළ වියදම් ප්‍රමාණය පහත පරිදි දැක්විය හැකිය.
|
67 වැනියා |
80 වැනියා |
100 වැනියා |
|
74.5<-------------------------------------------------පන්ති පළල (c)------------------------------------------------->79.5 |
||
ඕනෑම ප්‍රන්තරයක දත්ත ඒකාකාරව විසිරි ඇති උපකල්පනය කරන නිසා පහත ආකාරයට මුදල් වියදම් කල ප්‍රමාණය ලබා ගත හැකිය.
එනම් මධ්‍යස්ථය = 74.5+(5/33)x13
එනම් මධ්‍යස්ථය = 74.5+5/33(80-67)
එනම් මධ්‍යස්ථය = 74.5+5/33[(160/2)-67]
එමනිසා,
c-පන්ති පළල
L-මධ්‍යස්ත පන්තියේ යටත් සිමාව
N-මුළු දත්ත ගණන
fr -මධ්‍යස්ත පන්තියේ සංඛ්‍යාතය
Fr-1-මධ්‍යස්ථ පන්තිය තෙක් සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය නිරුපණය කරන විට සමුහිත දත්ත ව්‍යාප්තියක් සදහා මධ්‍යස්ථය පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ.
මධ්‍යස්ථය = L+(c/ fr)[(N/2)- Fr-1]
ඉහත උදාහරණයේ පිළිතුර=76.4697 වේ.
මධ්‍යස්ථය සාධනය කල අයුරු අපැහැදිලි නම් ඒ පිළිබදව කිසිදු තැකීමක් නොකරන මෙන් ඉල්ලා සිටිමි. මක්නිසාද, එය සංයුක්ත ගණිත උසස්පෙළ විෂය නිර්දේශයෙන් ඉවත් කර තිබීම නිසාවෙනි. කෙසේ වෙතත් මෙම සුත්‍ර පැහැදිලිව භාවිත කිරීමට නම් නිතර මේ ආශ්‍රිතව ගැටළු විසදිය යුතු වේ. නැවතත් මතක් කරමි, මෙම කොටස සංයුක්ත ගණිත ප්‍රශ්න පත්‍රයේ ව්‍යවහාරික කොටසේ ¼ක ලකුණු ප්‍රමාණයකි. එනම් 250කි.(සම්භාවිතාව ඇතුළුව)
