ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩී 1
(අ) සමාන්තර ශ්‍රේඩී පිළිබද දැනුම අලුත් කර ගන්න.
a = මුල් පදය ; d = පොදු පදය ; l = අවසාන පදය ; Tn = n වැනි පදය ;
d = T2 – T1 = T3 – T2 = Tn – Tn-1
l = a + ( n – 1 ) d ; a සහ b පද දෙක අතර
සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය = a + b
2
n තරම් වූ පද ගණනක ඓක්‍යය = Sn
Sn = n ( a + l ) හෝ Sn = n { 2a + ( n – 1 ) d }
2 2
(ආ) ගුණෝතර ශ්‍රේඩීයක් බව නීර්ණය කිරීම.
නිදසුන 01
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , .................
මෙම නිදසුනේ සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයේ පොදු අන්තරයක් සහිත නොවේ.එහෙත් එහි පොදු ගුණාකාරයක් තිබේ.
ඉහත නිදසුනේහි ,
2 , 2 × 2 , 2 × 3 , 2 × 4 , 2 × 5 , 2 × 6 , වශයෙන් 2 හි ගුණාකාර ඇත.
නිදසුන 02
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...................
මෙම නිදසුනත් සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයක් පොදු අනුපාතයක් සහාත නොවේ. එහෙත් එහි පොදු ගුණාකාරයක් තිබේ.
1 , 1 × 21 , 1 × 22 , 1 × 23 , 1 × 24 , වශයෙන් 2 හි බල වල ගුණාකාර ඇත.
* එම ගුණාකාර හදුන්වන්නේ පොදු අනුපාතය යනුවෙනි.
* පොදු අනුපාතය නියෝජනය කරන්නේ r සංකේතයනි.
* පොදු අනුපාතයක් සහිත සංඛ්‍යා අනුක්‍රමකයක් හැදින්වෙන්නේ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක් යනුවෙනි.
* සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක අනුයාත ( එක ළග පිහිටි ) පද දෙකක් ගෙන පළමු වැනි පදයෙන් දෙවැනි පදය බෙදු විට ලැබෙන අනුපාතය හැම විටකම සමාන වේ නම් ඒ සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය ගුණෝතර ශ්‍රේඩීයකි.
(අැ) ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය
* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පළමු පදය සහ අවසාන පදය අන්ත සංඛ්‍යා ලෙස හැදින්වේ. එම සංඛ්‍යා දෙකටම මැදි වු පද ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය ලෙස හැදින්වේ.
* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පද දෙකක් අතරට මධ්‍යන්‍ය එකක් හෝ වැඩි ගණනක් හෝ ඇතුළු කළ හැකිය.
X , Z , Y , ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක අනුයාත පද තුනක් වු විට X සහ Y අන්ත පද ලෙස ද Z මධ්‍යන්‍යය පද ලෙස ද හදුන්වනු ලැබේ.
ඉහත X , Z , Y , යන පද තුන ඇසුරෙන්
Z ÷ X = Y ÷ Z = r ලෙස සමීකරණයක් ලබා ගත් විට
Z ÷ X = Y ÷ Z = r
එම නිසා X2 = ab
එම නිසා X = ± (ab)½ ලෙස X හි අගය ලැබේ.
* පද දෙකක් අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය ලෙස ඒ පද දෙකේ ගුණිතයේ වර්ගමුලය ලියනු ලැබේ.
* x සහ y අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය තුනක් ඇතුළත් කීරීමේ දී ඒ පද ඇසුරෙන් පොදු අනුපාතය ලබාගෙන අවශ්‍ය මධ්‍යන්‍ය පද ඇතුළත් කරගත හැකිය.
නිදසුන 01
10 සහ 160 අතර ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යයක් ලියන්න.
ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය X ලෙස ගත් විට,
X = √10 × 160
X = √1600
X = ± 40
ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය = 40 හෝ -40
* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදය a ලෙසද පොදු අනුපාතය r ලෙසද සංකේත මගින් ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.
පදය වෙනුවෙන් T සංකේතය යෙදේ.
- මුල් පදය = T1
- දෙවැනි පදය = T2
- තුන්වැනි පදය = T3
- n වැනි පදය = Tn
* සංකේත මගින් ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පද පහත දැක්වෙන අන්දමට ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ.
T1 = ar1-1 = ar0 = a
T2 = ar2-1 = ar1 = ar
T3 = ar3-1 = ar2
Tn = arn-1 = arn-1
(අ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක පොදු අනුපාතය සෙවීම ( r සෙවීම )
* ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ අනුයාත පද දෙකක් ගෙන පළමු වැන්නෙන් දෙවැන්න බෙදු විට පොදු අනුපාතය ලැබේ.
T2 ÷ T1 = ar ÷ a = r ;
T3 ÷ T1 = ar2 ÷ ar = r ;
Tn-1 ÷ Tn-2 = arn-1 ÷ arn-2 = r ;
Tn ÷ Tn-1 = arn ÷ arn-1 = r ;
නිදසුන 01
පහත දැක්වෙන සංඛ්‍යා අනුක්‍රමවල ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීවල පොදු අනුපාතය ලියන්න.
1) 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ...................
6÷ 3 = 2 ; r = 2 ;
2)2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...................
4 ÷ 2 = 2 ; r = 2 ;
* පොදු අනුපාතය ( r ) ධන සංඛ්‍යාවක් හෝ සෘණ සංඛ්‍යාවක් හෝ විය හැකිය. නිශ්ශුන්‍ය ( බිංදුව නොවු ) පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් හෝ භාග සංඛ්‍යාවක් හෝ විය හැකිය. සංකේතයක් ද විය හැකිය.
(ආ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක දෙන ලද පදයක අගය සෙවීම
නිදසුන 01
1)2 , 6 , 18 , ............... ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ T6 සොයන්න.
T6 = ar5 ; a = 2 ; r = 3 ;
එම නිසා ar 5 = 2 × 35 ( 35 = 125 )
ar 5 = 2 × 125
ar 5 = 250
2)X3Y2 , X2Y , X , ……………..ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයේ T9 සොයන්න.
T9 = ar 8 ; a = X3 Y2 ; r = 1
XY
එම නිසා ar 8 = ( X3Y2 × 1 )8
XY
ar 8 = ( X3Y2 × X-8Y-8 )
ar 8 = X-5Y-6 = 1
X5Y6
(ඇ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක අනුයාත පද ගණනක ඓක්‍යය
ශ්‍රේඩීයේ අනුයාත පද ගණන n ලෙස ගත් විට පද ගණනෙහි ඓක්‍යය දැක්වෙන්නේ Sn යනුවෙනි.
a = මූල් පදය ද
r = පොදු අනුපාතය ද
n = පද ගණන ද
r > 1 ද වූ විට
Sn = a ( rn – 1 ) සූත්‍රය භාවිතයෙන් ලබා ගත හැකිය.
r - 1
නිදසුන 01
මුල් පද 5 ද පොදු අනුපාතය 2 ද වු ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක මුල් පදයේ සිට පිළිවෙළින් පද අට ක ඓක්‍යය සොයන්න.
a = 5 , r = 2 , n = 8 r > 1 නිසා
Sn = a ( rn – 1 )
r - 1
S8 = 5 ( 28 – 1 )
2 – 1
එම නිසා S8 = 5 ( 256 – 1 )
1
S8 = 5 x 255
S8 = 1275
(ඈ) ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක a , r සහ Sn දුන් විට n සෙවීම r , n සහ Sn දුන් විට a සෙවීම
නිදසුන 01
මුල් පදය 3 ද පොදු අනුපාතය 2 ද වූ ගුණෝත්තර ශ්‍රේඩීයක ඓක්‍යය 765 ක් වීමට මූල් පදයේ සිට ගතයුතු පද ගණන සෙවීම.
a = 3 , r = 2 , Sn = 765
a ( rn – 1 ) = Sn
r – 1
3 ( 2n – 1 ) = 765
2 – 1
එම නිසා 3 ( 2n – 1 ) = 765
එම නිසා( 2n – 1 ) = 765 = 255
3
එම නිසා 2n = 255 + 1 = 256
එම නිසා 2n = 28
n = 8
පද ගණන = 8
