සංකරන හා සංයෝජන

සංකරන හා සංයෝජන හැදෑරීමට ප්‍රථම ක්‍රමරෝපිත අංකනය පිලිබදව හැදෑරිය යුතු වේ. ක්‍රමරෝපිත අංකනය (!) මගින් සංකේතවත් වේ. ඒ අනුව,
n!=n(n-1) (n-2)......3,2,1 ලෙස අර්ථ දක්වනු ලබන අතර 0!=1 ලෙසද අර්ථ දක්වනු ලබයි.නිදසුනක් ලෙසට 5!=5*4*3*2*1=120 වේ. එමෙන්ම 4!*3!=(4*3*2*1) (3*2*1)=144 වේ. එමෙන්ම 5!=5*4! ලෙසද ලිවිය හැකිය.

පැවරුම - 8!/3! අගය සොයන්න

8!/3!

=8*7*6*5*4*3*2*1/3*2*1 = 6720

සංකරන

එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍ය n ප්‍රමාණයකින් වරකට ද්‍රව්‍ය r ප්‍රමාණයක් ගෙන (r <-n ) දී ඇති පටිපාටියට අනුව කරනු ලබන පිළියෙළ කිරීමක් සංකරනයක් යනුවෙන් හදුන්වයි. මෙසේ සිදු කල හැකි පිළියෙළ කිරීම් ගණන ⁿ p_r  ලෙස සංකේතවත් කරනු ලබයි.

උදාහරණය - a,b,c,d අකුරු හතරෙන් වරකට අකුරු දෙක බැගින් ගෙන සැදිය හැකි සංකරන සංඛ්‍යාව සොයමු.

                                Ab,ac,ad,bc,bd,cd,ba,ca,da,cb,db,dc

ඉහත නිදසුන සංකරන වලට අදාලව පහත සදහන් පරිදි විසදිය හැකිය.

ⁿ p_r  =n!/(n-r)!

⁴ p₂ =4!/(4-1)!=4*3*2!/2!=12

සංකරන වලදී ද්‍රව්‍ය පිළියෙළ වී ඇති ආකාරය පිළිබද සැලකිලිමත් වන බැවින් ab සහ ba එකම අකුරු දෙකකින් සමන්විත වුවත් පිළියෙළ වී ඇති රටාව වෙනස් බැවින් වෙනස් සංකරන දෙකක් ලැබේ.

පුනරවර්තව ඇති විට සංකරන

n₁ සමාන ද්‍රව්‍ය කාණ්ඩයකින්ද,n₂ වෙනස් ද්‍රව්‍ය කාණ්ඩයකින්ද,n_r  වෙනත් සමාන ද්‍රව්‍ය කාණ්ඩයකින්ද ආදී වශයෙන් සමන්විත ද්‍රව්‍ය n ප්‍රමාණයකින් තැනිය හැකි සංකරන සංඛ්‍යාව පහත සමීකරණයෙන් දැක්වේ.

n!/(n₁!, _,n₂ !.......n_r !)

යන්නෙන් දෙනු ලබයි. මෙහි n= n₁+ n_{2 +}.......n_r වේ.

උදාහරණ
Statistics යන වචනයේ අකුරු භාවිත කර ගනිමින් සැදිය හැකි සංකරන සංඛ්‍යාව කොපමණද?

මෙහි මුළු අකුරු සංඛ්‍යාව දහයක් වන අතර එයින් අකුරු තුනක් s අකුරුද,අකුරු තුනක් t අකුරුද,අකුරු දෙකක් I අකුරුද වේ.

Statistics

N=10

S=3

T=3

I=2

C=1

A=1

= n!/(n₁!, _,n₂ !.......n_r !)

10!/3!*3!*2!*1!

=50400 වේ.

සංයෝජන

එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍ය n ප්‍රමාණයකින් වරකට ද්‍රව්‍ය r ප්‍රමාණයක් ගෙන (r <-n ) සැදිය හැකි ඕනෑම උප කුලකයක් සංයෝජනයක් වශයෙන්  හදුන්වයි. මෙසේ තැනිය හැකි සංයෝජන ප්‍රමාණය   ⁿ c _r  ලෙස සංකේතවත් කරනු ලබයි.

a,,b,c,d අකුරු හතරෙන් වරකට අකුරු දෙක බැගින් ගෙන සැදිය හැකි සංයෝජන සංඛ්‍යාව හයකි. එනම් ab,ac,ad,bc,bd,cd වේ. මෙය පහත සදහන් පරිදි ගණනය කල හැකිය.

ⁿ c _r  =n!/r!(n-r)!

⁴ c₂ =4!/2!(4-2)!

=4!/2!*2!

=4*3*2!/2!*2!

=12/2*1=

12/2

=6 //

සංකරන හා සංයෝජන භාවිත කර ගණන් හදමු

1. පුද්ගලයින් අට දෙනෙකුගෙන් යුතු කණ්ඩායමකින් පුද්ගලයින් පස් දෙනෙකුගෙන් යුතු කමිටුවක් තෝරා ගත හැකි විධි ගණන සොයන්න.

2. හොදින් ඈනු කාඩ් පතකින් කාඩ් දෙකක් සසම්භාවිතව ඉවතට ගනු ලබයි. එය ආසියා කොළ දෙකක් වීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද?

3. a,b,c, යන අකුරු තුන භාවිත කර සැදිය හැකි සංකරන හා සංයෝජන ප්‍රමාණය සොයන්න.

4. පිරිමින් හත් දෙනෙකුගෙන් සහ කාන්තාවන් තුන් දෙනෙකුගෙන් යුතු කමිටුවක් තොර ගත හැකි ආකාරය කුමක්ද?

5. economics යන වචනය අකුරු භාවිත කරමින් සැදිය හැකි සංකරන සංඛ්‍යාව සොයන්න.

6. a,b,c, යන අකුරු තුනෙන් වරකට අකුරු දෙකක් බැගින් ගෙන සැදිය හැකි සංකරන හා සංයෝජන ගණන සොයන්න .

සංකරන හා සංයෝජන  ආශ්‍රිත අමතර දැනුමට

යම් සිද්ධියක් n₁  ආකාරයට සිදුවිය හැකිනම් සහ මෙම සිද්ධිය සිදු වුවාට පසුව වෙනත් සිද්ධියක් n₂ ආකාරයට සිදු විය හැකි නම් එවිට එම සිද්ධීන් දෙකම සිදුවිය හැකි අකර ගණන n_1* n₂ වේ. නිදසුනක් ලෙස කිසියම් සංගමයක සභාපති තනතුර සදහා පස් දෙනෙකුද ලේකම් තනතුර සදහා තුන් දෙනෙකුද ඉදිරිපත් වී ඇතනම් මෙම තනතුරු දෙක පිරවීම සදහා ඇති අකර ගණන 5*3=15 කි.

Mobitel නම් REG(space) ECON ලෙස type කර 2244 ට SMS කරන්න.

උසස් පෙළ
ආර්ථික විද්‍යාව
(සිද්ධාන්ත/පුනරීක්ෂණ)
තනි හෝ කණ්ඩායම් පන්ති
076-6557372 (කොළඹ/ගම්පහ අවට පමණි)

(විශ්වවිද්‍යාල සිසුවෙකු විසින් මෙහෙයවයි)